ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания, плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол 45° с плоскостью основания. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Высоту пирамиды находим из треугольника \(SBC\): \(SB = BC \cdot \tan 45^\circ = 4 \cdot 1 = 4\) см.

Площадь основания: \(S_{осн} = 4 \cdot 12 = 48\) см².

Площадь боковых граней:
\(S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24\) см²,
\(S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\) см².

Длина \(SD = \sqrt{12^2 + 4^2} = 4\sqrt{10}\).
Площадь треугольника \(SCD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10}\) см².

Длина \(SC = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\).
Площадь треугольника \(SEP = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 12 = 24\sqrt{2}\) см².

Площадь боковой поверхности:
\(S_{бок} = 24 + 8 + 8\sqrt{10} + 24\sqrt{2} = 32 + 8\sqrt{10} + 24\sqrt{2}\) см².

1) Высота пирамиды \(SB\) находится из треугольника \(SBC\). По условию угол между гранью и основанием равен 45°, значит
\( \tan 45^\circ = \frac{SB}{BC} \).
Так как \( \tan 45^\circ = 1 \), то
\( SB = BC = 4 \) см.

2) Площадь основания прямоугольника:
\( S_{осн} = 4 \cdot 12 = 48 \) см².

3) Площадь боковой грани \(ASB\), которая перпендикулярна основанию и имеет основание 12 см и высоту \(SB = 4\) см:
\( S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \) см².

4) Площадь боковой грани \(SBC\), перпендикулярной основанию с основанием 4 см и высотой \(SB = 4\) см:
\( S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \) см².

5) Найдём длину ребра \(SD\) в треугольнике \(SCD\), где \(CD = 12\) см, а \(SB = 4\) см:
\( SD^2 = CD^2 + SB^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160 \),
откуда
\( SD = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10} \) см.

6) Площадь боковой грани \(SCD\) с основанием \(CD = 4\) см и высотой \(SD = 4 \sqrt{10}\) см:
\( S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{10} = 8 \sqrt{10} \) см².

7) Найдём длину ребра \(SC\) в прямоугольном треугольнике с катетами 4 см и 4 см:
\( SC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = 4 \sqrt{2} \) см.

8) Площадь боковой грани \(SEP\) с основанием \(SC = 4 \sqrt{2}\) см и высотой 12 см:
\( S_{SEP} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 12 = 24 \sqrt{2} \) см².

9) Суммируем площади боковых граней:
\( S_{бок} = 24 + 8 + 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{2} = 32 + 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{2} \) см².

10) Ответ:
Высота пирамиды \(SB = 4\) см.
Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 32 + 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{2}\) см².