ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 18.7 изображена правильная треугольная пирамида \(SABC\). Перерисуйте рисунок в тетрадь и изобразите:

1) высоту пирамиды;

2) угол наклона ребра \(SA\) к плоскости основания;

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре \(BC\).

1) Высота пирамиды — отрезок \(SO\), перпендикулярный плоскости основания \(ABC\).

2) Угол наклона ребра \(SA\) к плоскости основания равен углу между \(SA\) и его проекцией \(AO\).

3) Линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\) — угол между перпендикулярными к \(BC\) в плоскостях \(SBC\) и \(ABC\).

1) Высота пирамиды \(SO\) — это перпендикуляр, опущенный из вершины \(S\) на плоскость основания \(ABC\). Поскольку пирамида правильная, основание \(ABC\) — равносторонний треугольник, и точка \(O\) — центр этого треугольника, совпадающий с точкой пересечения медиан. Тогда \(SO \perp ABC\).

2) Угол наклона ребра \(SA\) к плоскости основания равен углу между отрезком \(SA\) и его проекцией на плоскость \(ABC\). Проекция \(SA\) на плоскость основания — отрезок \(AO\), где \(O\) — центр основания. Для вычисления угла \(\alpha\) используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos \alpha = \frac{SA \cdot AO}{|SA| \cdot |AO|}\),

где \(SA\) — длина ребра пирамиды, \(AO\) — расстояние от вершины основания до центра основания.

3) Линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\) — это угол между двумя плоскостями \(SBC\) и \(ABC\). Для нахождения линейного угла рассмотрим в точке \(B\) два направления, перпендикулярные ребру \(BC\) в каждой из плоскостей. Обозначим эти направления как \(BD_1\) в плоскости \(ABC\) и \(BD_2\) в плоскости \(SBC\), где \(D_1\) и \(D_2\) — точки на соответствующих плоскостях. Тогда линейный угол \(\beta\) равен углу между векторами \(BD_1\) и \(BD_2\), который можно найти по формуле:

\(\cos \beta = \frac{BD_1 \cdot BD_2}{|BD_1| \cdot |BD_2|}\).

Так как пирамида правильная, все необходимые длины и углы можно выразить через сторону основания и высоту пирамиды.