ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскости боковых граней \(MAB\) и \(MAC\) пирамиды \(MABC\) перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани \(MBC\), если \(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см, \(MA = 9\) см.

Площадь треугольника \(ABC\) найдем по формуле Герона: \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\), \(S_{ABC} = \sqrt{21(21 — 13)(21 — 14)(21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\).

Высота из \(A\) на сторону \(BC\) равна \(h_A = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12\).

Высота пирамиды \(MA = 9\) перпендикулярна основанию, значит высота из \(M\) на сторону \(BC\) равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12: \(h = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\).

Площадь грани \(MBC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 105\).

Ответ: \(105\) см\(^2\).

1. Найдем полупериметр треугольника \(ABC\): \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\).

2. Используем формулу Герона для площади треугольника \(ABC\): \(S_{ABC} = \sqrt{21(21 — 13)(21 — 14)(21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}\).

3. Вычислим произведение под корнем: \(21 \cdot 8 = 168\), \(7 \cdot 6 = 42\), значит \(168 \cdot 42 = 7056\).

4. Найдем площадь: \(S_{ABC} = \sqrt{7056} = 84\) см\(^2\).

5. Найдем высоту из точки \(A\) на сторону \(BC\) по формуле площади: \(h_A = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12\) см.

6. Поскольку плоскости \(MAB\) и \(MAC\) перпендикулярны плоскости основания, \(MA\) — высота пирамиды, равная 9 см.

7. Высота из точки \(M\) на сторону \(BC\) равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(MA = 9\) и \(h_A = 12\): \(h = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) см.

8. Площадь грани \(MBC\) вычисляется как: \(S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 7 \cdot 15 = 105\) см\(^2\).