ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен \(\alpha\). Найдите двугранный угол пирамиды при боковом ребре.

Пусть плоский угол при вершине равен \(\alpha\). Рассмотрим треугольник с вершиной в \(D\) и ребрами \(DA\) и \(DB\), образующими угол \(\alpha\).

Двугранный угол при ребре \(DB\) равен удвоенному арксинусу от отношения \( \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \).

Ответ: двугранный угол при ребре \(DB\) равен \(2 \arcsin \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\).

1. Пусть \(ABC\) — правильный треугольник основания пирамиды, а \(D\) — вершина пирамиды. Ребра \(DA\), \(DB\), \(DC\) равны по длине, так как пирамида правильная.

2. Плоский угол при вершине \(D\) — это угол между ребрами \(DA\) и \(DB\), обозначим его \(\alpha\).

3. Рассмотрим двугранный угол при ребре \(DB\). Он образован плоскостями \(ADB\) и \(BDC\).

4. Для нахождения двугранного угла нужно найти угол между нормалями к этим плоскостям.

5. В основании \(ABC\) все стороны равны, значит угол \(ABC\) равен \(60^\circ\).

6. Угол между плоскостями \(ADB\) и \(BDC\) равен удвоенному углу между ребром \(DB\) и высотой треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(B\).

7. Высота правильного треугольника делит угол \(60^\circ\) пополам, следовательно, половина угла основания равна \(30^\circ\).

8. Тогда двугранный угол при ребре \(DB\) можно выразить через плоский угол \(\alpha\) как \(2 \arcsin \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\).

9. Это выражение учитывает соотношение между плоским углом при вершине и углом между плоскостями, прилегающими к ребру.

10. Итог: двугранный угол при боковом ребре пирамиды равен \(2 \arcsin \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\).