ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Пусть двугранный угол при боковом ребре равен \(\alpha\). Рассмотрим треугольник, образованный сечением пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и высоту.

Площадь этого треугольника выражается через синус угла \(\alpha\) и стороны, равные 1 (так как пирамида правильная). Используем формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} BK \cdot KD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha\).

Из геометрических соотношений выводим формулу для угла при вершине пирамиды:

\(\angle DSC = 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием — квадратом \(ABCD\) и вершиной \(S\). Нам нужно найти плоский угол при вершине пирамиды \(\angle DSC\), где \(D\) и \(C\) — соседние вершины основания.

2. Обозначим двугранный угол при боковом ребре \(SD\) за \(\alpha\). Этот угол образован плоскостями \(SAD\) и \(SCD\), которые сходятся вдоль ребра \(SD\).

3. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро \(SD\) и высоту пирамиды, проведённую к основанию. В этом сечении образуется треугольник \(SBD\), где \(B\) — вершина основания, смежная с \(C\) и \(D\).

4. В этом треугольнике двугранный угол при ребре \(SD\) равен углу между плоскостями \(SAD\) и \(SCD\), то есть \(\alpha\).

5. Обозначим точку \(K\) на ребре \(SC\) так, что отрезок \(BK\) перпендикулярен ребру \(SD\). Тогда площадь треугольника \(BKD\) выражается через длины отрезков и угол \(\alpha\):

\(S_{BKD} = \frac{1}{2} BK \cdot KD \cdot \sin \alpha\).

6. Так как пирамида правильная, длины отрезков \(BK\) и \(KD\) равны 1, поэтому

\(S_{BKD} = \frac{1}{2} \sin \alpha\).

7. Рассмотрим угол при вершине \(S\) между ребрами \(SD\) и \(SC\), обозначим его \(\theta = \angle DSC\). Этот угол связан с двугранным углом \(\alpha\) следующим соотношением:

\(\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

8. Отсюда выражаем искомый угол:

\(\theta = 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

9. Данная формула даёт плоский угол при вершине пирамиды через двугранный угол при боковом ребре.

10. Ответ: \(\angle DSC = 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).