ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.45 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до плоскости её боковой грани равно \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\gamma\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды \( S_{\text{бок. п.}} \) находится через площадь основания \( S_{\text{осн}} \) и угол наклона боковой грани к основанию:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos \angle SNB} \).

Площадь основания правильного треугольника со стороной \( a \):

\( S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Угол наклона боковой грани даёт косинус, который используется в знаменателе.

Итоговая формула:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{6a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}}{\sin 2d \cdot \sin d} \).

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием \( \triangle ABC \) и вершиной \( S \). Нужно найти площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок. п.}} \).

2. Обозначим сторону основания через \( a \). Площадь основания равна площади правильного треугольника:

\( S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

3. Боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных треугольников \( SAB, SBC, SCA \).

4. Высота боковой грани опущена из вершины \( S \) на сторону основания, обозначим её как \( h \).

5. Угол между боковой гранью и плоскостью основания обозначим как \( d \). Тогда высота боковой грани связана с высотой пирамиды и углом \( d \).

6. Площадь боковой поверхности связана с площадью основания и углом наклона боковой грани следующим образом:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos \angle SNB} \).

7. Косинус угла наклона можно выразить через синусы углов \( d \) и \( 2d \):

\( \cos \angle SNB = \sin 2d \cdot \sin d \).

8. Подставляем площадь основания и выражение для косинуса в формулу площади боковой поверхности:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\sin 2d \cdot \sin d} \).

9. Упрощаем числитель:

\( 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \).

10. Итоговое выражение для площади боковой поверхности:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2 \sin 2d \cdot \sin d} \).