ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.46 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Пусть \( S \) — вершина правильной четырёхугольной пирамиды, \( ABCD \) — её основание, \( \alpha \) — двугранный угол при боковом ребре.

Плоский угол при вершине равен углу между двумя соседними боковыми гранями, который можно выразить через площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\triangle SOC} \).

По условию:

\( S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{2m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} = \frac{8m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} \),

где \( m \) и \( \beta \) — параметры, связанные с углами и сторонами пирамиды.

Таким образом, плоский угол при вершине можно найти через формулу:

\( S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\triangle SOC} = \frac{8m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} \).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с вершиной \( S \) и основанием \( ABCD \). Вершина \( S \) соединена с вершинами основания боковыми рёбрами. Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя плоскостями, которые образуются боковыми гранями пирамиды, сходящимися вдоль этого ребра. Обозначим этот угол через \( \alpha \).

2. Для нахождения плоского угла при вершине пирамиды нужно рассмотреть площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников \( \triangle SOC \), где \( O \) — центр основания. Площадь одного такого треугольника обозначим \( S_{\triangle SOC} \). Тогда площадь всей боковой поверхности равна \( S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\triangle SOC} \).

3. В формуле площади треугольника учитываем, что \( S_{\triangle SOC} = \frac{2m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} \), где \( m \) и \( \beta \) — параметры, связанные с длиной и углами бокового ребра и основания. Подставляя это в формулу площади боковой поверхности, получаем \( S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{2m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} = \frac{8m^2}{\sin 2\beta \cos \beta} \). Эта формула позволяет выразить плоский угол при вершине через известные величины, связанные с двугранным углом и геометрией пирамиды.