ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.47 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) равна 8 см, а высота пирамиды — 12 см.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер \(MA\) и \(MD\) параллельно высоте пирамиды.

2) Найдите площадь сечения.

Сторона квадрата \(PRQS\) равна \(SP = 6\) см.

Периметр квадрата \(PRQS = 4 \times SP = 4 \times 6 = 24\) см.

Площадь квадрата \(S_{PRQS} = SP^2 = 6^2 = 36\) см\(^2\).

1. Основание пирамиды \(ABCD\) — квадрат со стороной \(8\) см. Центр основания \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата. Диагональ квадрата равна \(8 \sqrt{2}\) см, поэтому расстояние от центра до вершины основания \(AO = 4 \sqrt{2}\) см.

2. Высота пирамиды \(MO = 12\) см, где \(M\) — вершина пирамиды. Точка \(P\) лежит на ребре \(MA\) так, что \(MP : MA = 1 : 3\). Аналогично, точки \(R, Q, S\) делят ребра \(MB, MC, MD\) соответственно в таком же отношении.

3. Для нахождения длины стороны квадрата \(PRQS\) рассмотрим векторное представление. Вектор \(MA\) можно представить как сумму векторов \(MO\) и \(OA\). Длина \(MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{12^2 + (4 \sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 32} = \sqrt{176} = 4 \sqrt{11}\) см.

4. Так как \(P\) делит \(MA\) в отношении \(1 : 3\) от вершины \(M\), длина \(MP = \frac{1}{4} MA = \frac{1}{4} \times 4 \sqrt{11} = \sqrt{11}\) см.

5. Аналогично для остальных точек \(R, Q, S\) длины от \(M\) до этих точек равны \(\sqrt{11}\) см, и они лежат на соответствующих ребрах пирамиды.

6. Рассмотрим проекцию квадрата \(PRQS\) на основание \(ABCD\). Поскольку основание — квадрат, и точки \(P, R, Q, S\) делят ребра пирамиды пропорционально, фигура \(PRQS\) является квадратом.

7. Вычислим длину стороны квадрата \(SP\). Вектор \(SP = \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \times 8 = 2\) см в проекции на основание, но с учётом высоты пирамиды длина стороны квадрата увеличивается.

8. Используя теорему Пифагора для стороны квадрата \(SP\), получаем \(SP = \sqrt{(2 \sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\) см.

9. Упрощая, длина стороны квадрата \(SP = 6\) см.

10. Периметр квадрата \(PRQS = 4 \times 6 = 24\) см, площадь квадрата \(S_{PRQS} = 6^2 = 36\) см\(^2\).