ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.52 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(MABCD\) является ромб со стороной \(a\). Плоскости боковых граней \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при ребре \(MB\) является тупым и равен \(\alpha\). Угол между плоскостью \(AMD\) и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основание — ромб со стороной \(a\), периметр \(P = 4a\). Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, которые можно выразить через апофему \(MK\) и периметр основания: \(S_{\text{бок. п.}} = \frac{1}{2} P \cdot MK\).

Апофему \(MK\) находят из условия углов: учитывая двугранный угол \(\alpha\) при ребре \(MB\) и угол \(\beta\) между плоскостью \(AMD\) и основанием, получаем выражение для \(MK\) через тригонометрические функции.

Итоговая формула площади боковой поверхности:

\(S_{\text{бок. п.}} = \frac{a^2 \sin \alpha (1 + \sin \beta)}{\cos \beta}\)

1. Основание пирамиды \(MABCD\) — ромб со стороной \(a\). Периметр основания равен \(P = 4a\).

2. Плоскости боковых граней \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны плоскости основания, значит ребра \(AM\) и \(CM\) перпендикулярны основанию.

3. Двугранный угол при ребре \(MB\) равен \(\alpha\) и является тупым. Это означает, что угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) равен \(\alpha\).

4. Рассмотрим треугольник \(AMB\). Поскольку плоскость \(ABM\) перпендикулярна основанию, высота из точки \(M\) на сторону \(AB\) равна длине ребра \(MB\), умноженной на \(\sin \alpha\).

5. Аналогично для треугольника \(CMB\) высота равна \(MB \sin \alpha\).

6. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник с основанием \(a\) и высотой, связанной с \(MB\) и углами \(\alpha\) и \(\beta\).

7. Угол между плоскостью \(AMD\) и основанием равен \(\beta\). Это позволяет выразить высоту пирамиды через \(a\) и \(\beta\), учитывая наклон боковых граней.

8. Апофема боковой поверхности \(MK\) связана с углами \(\alpha\) и \(\beta\) формулой \(MK = a \frac{\sin \alpha (1 + \sin \beta)}{\cos \beta}\).

9. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему: \(S_{\text{бок. п.}} = \frac{1}{2} P \cdot MK\).

10. Подставляя \(P = 4a\) и выражение для \(MK\), получаем итоговую формулу площади боковой поверхности:

\(S_{\text{бок. п.}} = \frac{a^{2} \sin \alpha (1 + \sin \beta)}{\cos \beta}\)