ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.55 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра равно 1 см. Найдите наибольшее значение площади сечения данного тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам.

Пусть тетраэдр правильный с ребром 1. Плоскость параллельна двум скрещивающимся рёбрам, значит сечение — параллелограмм.

Максимальное сечение будет прямоугольником с длинами сторон, равными половине ребра, то есть \( \frac{1}{2} \).

Площадь сечения равна произведению сторон: \( S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) см².

1. Рассмотрим правильный тетраэдр \(ABCD\) с ребром длиной 1 см.

2. Выберем два скрещивающихся ребра, например \(AB\) и \(DC\).

3. Плоскость, параллельная этим рёбрам, пересекает тетраэдр по параллелограмму, стороны которого параллельны \(AB\) и \(DC\).

4. Обозначим точки пересечения плоскости с рёбрами \(AD\), \(BD\), \(BC\) и \(AC\) как \(E\), \(F\), \(K\) и \(M\) соответственно.

5. Поскольку тетраэдр правильный, все ребра равны 1, и плоскость параллельна \(AB\) и \(DC\), отрезки \(EF\) и \(FK\) равны половине ребра, то есть \( \frac{1}{2} \).

6. Таким образом, сечение — прямоугольник \(EFKM\) со сторонами \(EF = \frac{1}{2}\) и \(FK = \frac{1}{2}\).

7. Площадь сечения равна произведению сторон прямоугольника: \(S = EF \times FK = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\).

8. Вычисляем: \(S = \frac{1}{4}\) см\(^{2}\).

9. Следовательно, наибольшая площадь сечения, параллельного двум скрещивающимся рёбрам, равна \( \frac{1}{4} \) см\(^{2}\).

10. Ответ совпадает с условием и приведённым примером.