ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.57 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах \(BA\) и \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(C_1\) и \(A_1\). Докажите, что отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\) могут служить сторонами некоторого треугольника.

Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник, \(C_1 \in BA\), \(A_1 \in BC\). Построим правильный тетраэдр \(SABC\).

Соединим \(S\) с \(C_1\) и \(A_1\). Тогда по первому признаку равенства треугольников:

\( \triangle SA_1C = \triangle AA_1C \), так как \( \angle A_1CA = \angle SCA_1 = 60^\circ \), \(A_1C\) — общая сторона, \(SC = AC\).

Отсюда \(SA_1 = AA_1\).

Аналогично,

\( \triangle SC_1A = \triangle CC_1A \), так как \( \angle C_1AC = \angle SAC_1 = 60^\circ \), \(AC_1\) — общая сторона, \(SA = AC\).

Отсюда \(SC_1 = CC_1\).

В треугольнике \( \triangle SA_1C_1 \) стороны равны \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\), значит эти отрезки могут быть сторонами некоторого треугольника.

1. Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник, то есть \(AB = BC = AC\). На сторонах \(BA\) и \(BC\) выбраны точки \(C_1\) и \(A_1\) соответственно, причём \(C_1 \neq B\), \(A_1 \neq B\).

2. Построим правильный тетраэдр \(SABC\) с основанием \(ABC\), где все ребра равны \(AB\).

3. Рассмотрим треугольники \(\triangle SA_1C\) и \(\triangle AA_1C\). У них равны углы \(\angle A_1CA = \angle SCA_1 = 60^\circ\) по свойствам правильного тетраэдра и равенству углов в равностороннем треугольнике.

4. Сторона \(A_1C\) является общей для этих треугольников, а ребра \(SC\) и \(AC\) равны, так как они ребра правильного тетраэдра.

5. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников \(\triangle SA_1C = \triangle AA_1C\), откуда вытекает равенство сторон \(SA_1 = AA_1\).

6. Аналогично рассмотрим треугольники \(\triangle SC_1A\) и \(\triangle CC_1A\). У них равны углы \(\angle C_1AC = \angle SAC_1 = 60^\circ\).

7. Сторона \(AC_1\) общая, а ребра \(SA\) и \(AC\) равны, так как принадлежат правильному тетраэдру.

8. По первому признаку равенства треугольников \(\triangle SC_1A = \triangle CC_1A\), следовательно, \(SC_1 = CC_1\).

9. Рассмотрим треугольник \(\triangle SA_1C_1\). Его стороны равны \(SA_1\), \(SC_1\) и \(A_1C_1\).

10. Поскольку \(SA_1 = AA_1\) и \(SC_1 = CC_1\), то стороны треугольника \(\triangle SA_1C_1\) равны отрезкам \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\). Значит, эти отрезки могут быть сторонами некоторого треугольника.