ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.59 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 25\) см, \(AC = 14\) см. К окружности, вписанной в данный треугольник, проведена касательная, параллельная основанию \(AC\) и пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Найдите площадь треугольника \(MBK\).

Дано: \(AB = BC = 25\), \(AC = 14\).

Полупериметр: \(p = \frac{25 + 25 + 14}{2} = 32\).

Площадь треугольника \(ABC\): \(S_{ABC} = \sqrt{32 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 18} = 168\).

Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны, коэффициент подобия \(k = \frac{9}{16}\).

Площадь \(MBK\): \(S_{MBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 168 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^2 = 168 \cdot \frac{81}{256} = \frac{1701}{32}\).

1. В задаче дан треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB = BC = 25\) см и основанием \(AC = 14\) см. Сначала необходимо найти площадь этого треугольника. Для этого используем формулу Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам всех его сторон. Сначала вычислим полупериметр \(p\) треугольника: \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 25 + 14}{2} = 32\). Далее подставим значения в формулу площади: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{32 \cdot (32 — 25) \cdot (32 — 25)}\cdot \)
\(\cdot\sqrt{(32 — 14)} = \sqrt{32 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 18}\). Вычислив произведение под корнем, получаем \(\sqrt{28224}\), что равно 168 см\(^{2}\).

2. Следующий важный момент — касательная к вписанной окружности, которая проведена параллельно стороне \(AC\) и пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Поскольку касательная параллельна стороне \(AC\), треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны по признаку равенства углов между параллельными прямыми и секущими. Это значит, что отношение соответствующих сторон этих треугольников одинаково. Из условия или решения следует, что отношение отрезка \(MB\) к стороне \(AB\) равно \(\frac{9}{16}\), то есть \(k = \frac{9}{16}\). Аналогично, отношение \(BK\) к стороне \(BC\) также равно \(k\).

3. Чтобы найти площадь треугольника \(MBK\), используем свойство подобия треугольников: площадь подобного треугольника равна площади исходного, умноженной на квадрат коэффициента подобия. Таким образом, \(\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^{2} = \left(\frac{9}{16}\right)^{2} = \frac{81}{256}\). Подставляя известные значения, получаем \(S_{MBK} = 168 \cdot \frac{81}{256} = \frac{168 \cdot 81}{256}\). Упростим дробь, сократив числитель и знаменатель на 8: \(\frac{168}{256} = \frac{21}{32}\). Тогда площадь равна \(S_{MBK} = \frac{21 \cdot 81}{32} = \frac{1701}{32}\) см\(^{2}\). Таким образом, площадь треугольника \(MBK\) составляет \(\frac{1701}{32}\) квадратных сантиметров.