ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды.

Сторона основания равна 12 см. Высота треугольника основания \( CK = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см. Расстояние от центра основания до вершины основания \( CO = \frac{2}{3} CK = 4 \sqrt{3} \) см. В треугольнике \( SCO \) угол между боковым ребром и основанием 60°, значит \( \tan 60^\circ = \frac{SO}{CO} \). Подставляем: \( \sqrt{3} = \frac{SO}{4 \sqrt{3}} \), отсюда \( SO = \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \) см. Высота пирамиды равна 12 см.

1. Дана правильная треугольная пирамида с основанием в виде равностороннего треугольника со стороной \( cd = 12 \) см.

2. Высота равностороннего треугольника \( CK \) равна \( CK = \frac{cd \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см.

3. Точка \( O \) — центр основания, медиана \( CO \) равна \( CO = \frac{2}{3} CK = \frac{2}{3} \times 6 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \) см.

4. Рассмотрим треугольник \( SCO \), где \( SO \) — высота пирамиды, \( CO \) — расстояние от центра основания до вершины основания.

5. Из условия угол между боковым ребром \( SC \) и плоскостью основания равен \( 60^\circ \).

6. По определению тангенса угла \( 60^\circ \) в треугольнике \( SCO \) имеем \( \tan 60^\circ = \frac{SO}{CO} \).

7. Подставляем известные значения: \( \sqrt{3} = \frac{SO}{4 \sqrt{3}} \).

8. Выражаем высоту \( SO = \sqrt{3} \times 4 \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \) см.

9. Таким образом, высота пирамиды равна \( SO = 12 \) см.

10. Ответ совпадает с примером и равен 12 см.