ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите сторону основания пирамиды.

Высота пирамиды \(SO = 8\) см, угол наклона бокового ребра к основанию \(45^\circ\).

Боковое ребро \(SB = \frac{SO}{\cos 45^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \sqrt{2}\).

В правильном квадрате диагональ равна \(AB \sqrt{2}\), половина диагонали \(OB = \frac{AB}{\sqrt{2}}\).

Из прямоугольного треугольника \(SOB\): \(OB = \sqrt{SB^2 — SO^2} = \sqrt{(8 \sqrt{2})^2 — 8^2} = 8\).

Решая \(8 = \frac{AB}{\sqrt{2}}\), получаем сторону основания \(AB = 8 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2}\) см.

1. Дана правильная четырёхугольная пирамида с высотой \(SO = 8\) см и боковым ребром \(SB\), наклонённым к плоскости основания под углом \(45^\circ\).

2. Центр основания пирамиды обозначим точкой \(O\). Поскольку пирамида правильная, \(O\) — центр квадрата основания, а \(OC\) — половина стороны основания \(AB\).

3. Рассмотрим треугольник \(SBO\). Угол между боковым ребром \(SB\) и плоскостью основания равен \(45^\circ\), значит угол между \(SB\) и отрезком \(OB\) (проекцией \(SB\) на основание) равен \(45^\circ\).

4. Высота пирамиды \(SO\) перпендикулярна основанию, поэтому \(SO\) — катет прямоугольного треугольника \(SBO\), где гипотенуза — боковое ребро \(SB\).

5. По определению косинуса угла между боковым ребром и основанием: \(\cos 45^\circ = \frac{SO}{SB}\).

6. Отсюда находим длину бокового ребра: \(SB = \frac{SO}{\cos 45^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \sqrt{2}\).

7. Рассмотрим треугольник \(SOB\) в основании. Проекция \(SB\) на основание равна \(OB\), и \(OB\) — расстояние от центра основания до вершины квадрата.

8. В правильном квадрате диагональ равна \(AB \sqrt{2}\), а \(OB\) — половина диагонали, то есть \(OB = \frac{AB \sqrt{2}}{2} = \frac{AB}{\sqrt{2}}\).

9. Из прямоугольного треугольника \(SOB\) по теореме Пифагора: \(SB^2 = SO^2 + OB^2\), значит \(OB^2 = SB^2 — SO^2 = (8 \sqrt{2})^2 — 8^2 = 128 — 64 = 64\).

10. Тогда \(OB = 8\). Подставим в формулу для \(OB\): \(8 = \frac{AB}{\sqrt{2}}\), откуда \(AB = 8 \sqrt{2}\).

Ответ: \(AB = 16 \sqrt{2}\) см.