ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — 4 см. Найдите:

1) апофему пирамиды;

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Дано: сторона основания 6 см, высота пирамиды 4 см.

Апофема \(SK\) находится из прямоугольного треугольника \(SOK\), где \(SO = 4\), \(OK = \frac{6}{2} = 3\).

\(SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\) см.

Двугранный угол при ребре основания \(\angle SKO\) вычисляем через тангенс:

\(\tan \angle SKO = \frac{SO}{OK} = \frac{4}{3}\),

следовательно, \(\angle SKO = \arctan \frac{4}{3}\).

1) В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат со стороной 6 см. Половина стороны основания равна \(OK = \frac{6}{2} = 3\) см.

2) Высота пирамиды \(SO = 4\) см.

3) Апофема пирамиды \(SK\) — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания. Треугольник \(SOK\) прямоугольный, где \(SO\) — высота, \(OK\) — половина стороны основания, а \(SK\) — гипотенуза.

4) По теореме Пифагора вычисляем \(SK\):

\(SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) см.

5) Для нахождения двугранного угла при ребре основания рассмотрим угол \( \angle SKO \) в треугольнике \(SOK\).

6) Тангенс угла \( \angle SKO \) равен отношению противолежащего катета \(SO\) к прилежащему катету \(OK\):

\(\tan \angle SKO = \frac{SO}{OK} = \frac{4}{3}\).

7) Значит, двугранный угол при ребре основания равен

\(\angle SKO = \arctan \frac{4}{3}\).