ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны 8 см и 6 см, а высота пирамиды — \(3\sqrt{3}\) см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую \(AC\) и точку \(B_1\).

Площадь сечения равна площади треугольника \( ACB_1 \).

Длина диагонали основания \( AC = 8 \sqrt{2} \).

Расстояние от центра основания до точки \( B_1 \) равно 3.

Площадь треугольника \( ACB_1 = \frac{1}{2} \times AC \times B_1O = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 3 = 12 \sqrt{2} \).

Ответ: \( 12 \sqrt{2} \) см².

1. Дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида с нижним основанием — квадратом со стороной 8 см и верхним основанием — квадратом со стороной 6 см. Высота пирамиды равна \( 3 \sqrt{3} \) см.

2. Плоскость сечения проходит через диагональ \( AC \) нижнего основания и точку \( B_1 \) верхнего основания.

3. Найдём длину диагонали нижнего основания: \( AC = 8 \sqrt{2} \) см, так как диагональ квадрата равна стороне, умноженной на \( \sqrt{2} \).

4. Центры оснований совпадают по вертикали, обозначим центр нижнего основания как \( O \).

5. Поскольку верхнее основание — квадрат со стороной 6 см, расстояние от центра \( O \) до точки \( B_1 \) равно половине стороны, то есть 3 см.

6. Высота пирамиды \( SO = 3 \sqrt{3} \) см, но для нахождения площади сечения достаточно расстояния от \( B_1 \) до плоскости основания, то есть вертикальной проекции.

7. Плоскость сечения образует треугольник \( ACB_1 \).

8. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times AC \times h \), где \( h \) — высота, равная расстоянию от \( B_1 \) до прямой \( AC \).

9. В данном случае высота равна расстоянию от \( B_1 \) до центра \( O \), то есть 3 см, так как \( AC \) проходит через центр \( O \).

10. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 3 = 12 \sqrt{2} \) см².