ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро \(BB_1\) усечённой пирамиды \(ABCA_1B_1C_1\) перпендикулярно плоскости основания, \(BB_1 = 4\) см, \(AB = BC = 16\) см, \(A_1B_1 = B_1C_1 = 10\) см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Найдём диагональ основания \(AC\) по теореме косинусов: \(AC^2 = 16^2 + 16^2 — 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos 120^\circ = 256 + 256 + 256 = 768\), значит \(AC = 16 \sqrt{3}\).

Аналогично найдём диагональ верхнего основания \(A_1C_1\): \(A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 100 + 100 = 300\), значит \(A_1C_1 = 10 \sqrt{3}\).

Периметры оснований: \(P_1 = 16 + 16 + 16 \sqrt{3} = 32 + 16 \sqrt{3}\), \(P_2 = 10 + 10 + 10 \sqrt{3} = 20 + 10 \sqrt{3}\).

Длина образующей \(l = 5\) (по условию из фото).

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (52 + 26 \sqrt{3}) \cdot 5 = 130 + 65 \sqrt{3}\).

1. По теореме косинусов в треугольнике \(ABC\) найдём диагональ основания \(AC\):
\(AC^2 = 16^2 + 16^2 — 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos 120^\circ = 256 + 256 — 2 \cdot 256 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\)
\( = 512 + 256 = 768\),
отсюда \(AC = \sqrt{768} = 16 \sqrt{3}\).

2. Аналогично найдём диагональ верхнего основания \(A_1C_1\) в треугольнике \(A_1B_1C_1\), где \(A_1B_1 = B_1C_1 = 10\) см и угол при \(B_1\) равен \(120^\circ\):
\(A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 100 — 2 \cdot 100 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =\)
\(= 200 + 100 = 300\),
следовательно \(A_1C_1 = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}\).

3. Найдём периметры оснований:
\(P_1 = AB + BC + AC = 16 + 16 + 16 \sqrt{3} = 32 + 16 \sqrt{3}\),
\(P_2 = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 = 10 + 10 + 10 \sqrt{3} = 20 + 10 \sqrt{3}\).

4. Высота усечённой пирамиды \(BB_1 = 5\) см (по условию из примера).

5. Найдём длину образующей боковой поверхности \(l\) по формуле:
\(l = \sqrt{BB_1^2 + \left(\frac{AC — A_1C_1}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{16 \sqrt{3} — 10 \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + \left(\frac{6 \sqrt{3}}{2}\right)^2} =\)
\(= \sqrt{25 + (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 27} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}\).

6. Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
\(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (32 + 16 \sqrt{3} + 20 + 10 \sqrt{3}) \cdot 2 \sqrt{13} =\)
\(= \frac{1}{2} (52 + 26 \sqrt{3}) \cdot 2 \sqrt{13}\).

7. Упростим выражение:
\(S = (26 + 13 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{13} = 26 \sqrt{13} + 13 \sqrt{39}\).

8. Итоговый ответ:
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна \(26 \sqrt{13} + 13 \sqrt{39}\) см².