ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) являются квадратами, \(AD = 4\) см, \(A_1D_1 = 2\) см. Грань \(AA_1B_1B\) является равнобокой трапецией, а её плоскость перпендикулярна плоскости основания. Угол между плоскостью грани \(CC_1D_1D\) и плоскостью основания равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Периметры оснований: \(P_1 = 4 \times 4 = 16\) см, \(P_2 = 2 \times 4 = 8\) см.

Высота \(AA_1 = 2\) см, грань \(AA_1B_1B\) перпендикулярна основанию, значит высота боковой поверхности равна 2 см.

Угол между гранью \(CC_1D_1D\) и основанием 60°, поэтому боковые ребра \(CC_1\) и \(DD_1\) образуют наклон с длиной \(l = \frac{2}{\cos 60^\circ} = 4\) см.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырех трапеций:

\(S_{\text{бок}} = 12 + 6 \sqrt{13} + 6 \sqrt{3}\) см².

1. Основания усечённой пирамиды — квадраты с длинами сторон \(AD = 4\) см и \(A_1D_1 = 2\) см. Периметры оснований равны \(P_1 = 4 \times 4 = 16\) см и \(P_2 = 4 \times 2 = 8\) см.

2. Грань \(AA_1B_1B\) — равнобокая трапеция, перпендикулярная плоскости основания, значит \(AA_1\) — высота пирамиды, равная \(h = 2\) см.

3. Угол между плоскостью грани \(CC_1D_1D\) и основанием равен 60°, следовательно боковые ребра \(CC_1\) и \(DD_1\) наклонены под этим углом к основанию.

4. Найдём длину бокового ребра \(CC_1\). Высота \(h = 2\) см — проекция бокового ребра на вертикаль, тогда длина бокового ребра равна \(l = \frac{h}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\) см.

5. Рассмотрим боковые грани. Каждая боковая грань — трапеция с основаниями \(AD = 4\) см и \(A_1D_1 = 2\) см, и боковой стороной, равной \(l = 4\) см.

6. Для трапеции \(AA_1B_1B\) известно, что она равнобокая и перпендикулярна основанию, её боковые стороны равны 2 см (высота), а основания 4 см и 2 см.

7. Для трапеции \(CC_1D_1D\) боковые стороны равны \(l = 4\) см, основания те же — 4 см и 2 см, угол наклона 60° к основанию.

8. Найдём длину боковых сторон трапеции \(CC_1D_1D\) по теореме Пифагора: боковая сторона равна \( \sqrt{(4 — 2)^2 + (l \sin 60^\circ)^2} = \sqrt{2^2 + (4 \times \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\) см.

9. Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей четырёх трапеций. Площадь одной трапеции:

\(S = \frac{(a + b)}{2} \times h_{\text{трап}}\), где \(a = 4\), \(b = 2\), \(h_{\text{трап}}\) — высота трапеции.

10. Суммарная площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}} = 12 + 6 \sqrt{13} + 6 \sqrt{3}\) см².