ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна \(H\). Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а диагональ пирамиды — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Высота пирамиды \(H\), боковое ребро образует угол \(\alpha\), диагональ — угол \(\beta\).

Площадь боковой поверхности равна половине суммы периметров оснований, умноженной на апофему: \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\).

Длина бокового ребра \(ed = H \cdot \cot \alpha\).

Длина диагонали основания \(Ec = H \cdot \cot \beta\).

Апофема \(l = H \sqrt{1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha}\).

Периметры связаны с диагоналями, поэтому итоговая формула площади боковой поверхности:

\(S = 2 H^2 \cot \beta \sqrt{2 + \cot^2 \alpha}\).

1. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна половине суммы периметров верхнего и нижнего оснований, умноженной на апофему \(l\): \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\).

2. Рассмотрим треугольник, образованный высотой \(H\) и боковым ребром, которое образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). В этом треугольнике длина проекции бокового ребра на плоскость основания равна \(ed = H \cdot \cot \alpha\).

3. Рассмотрим треугольник, образованный высотой \(H\) и диагональю основания, которая образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Проекция диагонали на основание равна \(Ec = H \cdot \cot \beta\).

4. Боковое ребро \(EN\) равно половине диагонали основания, поэтому \(EN = \frac{ed}{\sqrt{2}} = \frac{H}{\sqrt{2}} \cdot \cot \alpha\).

5. Апофема \(l\) — это наклонная высота боковой поверхности. Она вычисляется как длина отрезка, соединяющего середину бокового ребра и точку на основании, равная \(l = H \sqrt{1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha}\).

6. Периметры оснований связаны с длинами сторон, которые выражаются через диагонали и проекции. В частности, периметр верхнего основания \(P_1\) и нижнего основания \(P_2\) связаны с длиной диагонали и боковым ребром.

7. Используя соотношения между периметрами и длинами сторон, площадь боковой поверхности можно выразить через высоту \(H\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\).

8. Итоговая формула площади боковой поверхности принимает вид: \(S_{\text{бок}} = 2 H^2 \cot \beta \sqrt{2 + \cot^2 \alpha}\).

9. Таким образом, площадь боковой поверхности зависит от высоты пирамиды и углов, которые образуют боковое ребро и диагональ с плоскостью основания.

10. Ответ: \(S_{\text{бок}} = 2 H^2 \cot \beta \sqrt{2 + \cot^2 \alpha}\).