ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона большего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна \(a\), а сторона меньшего основания — \(b\). Найдите высоту усечённой пирамиды, если острый угол её боковой грани равен \(\alpha\).

Сторона большего основания \( a \), меньшего — \( b \).

1. Найдём длину отрезка \( OO_1 = C_1K \).

2. \( C_1K = \frac{a — b}{2} \tan \alpha \).

3. \( NK = \frac{a — b}{2} \).

4. Найдём \( C_1H \) из прямоугольного треугольника:

\( C_1H^2 = C_1K^2 — NK^2 = \left( \frac{a — b}{2} \sqrt{\tan^2 \alpha — 1} \right)^2 \).

5. Высота \( OO_1 = C_1H = \frac{a — b}{2} \frac{\sqrt{-\cos 2\alpha}}{\cos \alpha} \).

1. Для начала рассмотрим правильную четырёхугольную усечённую пирамиду с большими основаниями стороны \( a \) и меньшими основаниями стороны \( b \). Чтобы найти высоту пирамиды, введём обозначения и вспомним, что боковая грань образует острый угол \( \alpha \) с основанием. Вершины основания и верхнего основания расположены так, что боковые ребра наклонены под углом \( \alpha \). Обозначим точку пересечения диагоналей основания как \( O \), а аналогичную точку на верхнем основании — \( O_1 \). Высота пирамиды — это расстояние между плоскостями оснований, то есть длина отрезка \( OO_1 \).

2. Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником. В этом треугольнике боковое ребро наклонено под углом \( \alpha \) к основанию. Чтобы найти высоту \( OO_1 \), нужно выразить её через известные стороны и угол. Для этого сначала найдём горизонтальное смещение между основаниями, которое равно половине разницы сторон: \( \frac{a — b}{2} \). Это связано с тем, что верхнее основание меньше, и оно «входит» внутрь нижнего на это расстояние с каждой стороны. Затем по определению тангенса угла \( \alpha \) из треугольника боковой грани можно записать, что отрезок \( C_1K \), лежащий в основании, равен \( \frac{a — b}{2} \tan \alpha \).

3. Теперь найдём вертикальную высоту пирамиды \( OO_1 \). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является боковое ребро, катетами — высота пирамиды и горизонтальное смещение \( NK = \frac{a — b}{2} \). Из теоремы Пифагора:

\( C_1H^2 = C_1K^2 — NK^2 = \left( \frac{a — b}{2} \tan \alpha \right)^2 — \left( \frac{a — b}{2} \right)^2 = \left( \frac{a — b}{2} \right)^2 (\tan^2 \alpha — 1) \).

Используя тригонометрическую формулу \( \tan^2 \alpha = \frac{1 — \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \), получаем:

\( \tan^2 \alpha — 1 = \frac{1 — \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} — 1 = \frac{-2 \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \).

Подставляя это в выражение для \( C_1H \), высота пирамиды равна

\( OO_1 = C_1H = \frac{a — b}{2} \frac{\sqrt{-\cos 2\alpha}}{\cos \alpha} \).

Таким образом, мы получили формулу для высоты усечённой пирамиды через стороны оснований \( a, b \) и угол \( \alpha \).