ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В круг вписан правильный треугольник со стороной 15 см. Найдите площадь сектора этого круга, соответствующего центральному углу правильного треугольника.

Дано: радиус окружности \( R = 15 \) см, угол сектора \( \alpha = 120^\circ \).

Найти площадь сектора \( S_c \).

Решение:

Радиус вписанной окружности треугольника равен \( r = \frac{15}{2\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) см.

Площадь сектора вычисляется по формуле:

\( S_c = \frac{\pi r^2}{360^\circ} \times \alpha = \frac{\pi \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2}{360^\circ} \times 120^\circ = \frac{\pi \times \frac{25 \times 3}{4}}{360^\circ} \times 120^\circ = \frac{25 \pi}{4} \) см².

Ответ: \( S_c = \frac{25\pi}{4} \) см².

1. Дано треугольник \( \triangle ABC \) с центром \( O \), радиусом описанной окружности \( R = 15 \) см и углом при вершине \( \angle AOB = 120^\circ \).

2. Найти площадь сектора окружности с радиусом \( r \), вписанной в треугольник, соответствующего углу \( 120^\circ \).

3. Сначала найдём радиус вписанной окружности \( r \). По формуле для радиуса вписанной окружности в равностороннем треугольнике:

\( r = \frac{R \sqrt{3}}{2} \).

Подставим \( R = 15 \):

\( r = \frac{15}{2 \sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \) см.

4. Площадь сектора вычисляется по формуле:

\( S_c = \frac{\pi r^2}{360^\circ} \times \alpha \),

где \( \alpha = 120^\circ \).

5. Подставим значение \( r \) в формулу:

\( r^2 = \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{25 \times 3}{4} = \frac{75}{4} \).

6. Теперь вычислим площадь сектора:

\( S_c = \frac{\pi \times \frac{75}{4}}{360^\circ} \times 120^\circ = \frac{75 \pi}{4} \times \frac{120}{360} = \frac{75 \pi}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{25 \pi}{4} \) см².

7. Ответ:

\( S_c = \frac{25 \pi}{4} \) см².