ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 10 см, а высота пирамиды — 4 см. Найдите:

1) диагональ усечённой пирамиды;

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани;

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

1) Диагональ усечённой пирамиды найдена по теореме Пифагора в треугольнике с катетами \(8\) и \(128\): \(d_1 C = \sqrt{8 + 128} = \sqrt{136}\). Тогда \(B_1 P = \sqrt{136 — 8} = 12\) см.

2) Площадь сечения через боковые рёбра вычисляется как площадь трапеции с основаниями \(6\sqrt{2}\) и \(10\sqrt{2}\) и высотой \(4\): \(S = \frac{6\sqrt{2} + 10\sqrt{2}}{2} \times 4 = 32\sqrt{2}\) см².

3) Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырёх боковых трапеций. Длина образующей \(l = \sqrt{4^2 + \left(\frac{10 — 6}{2}\right)^2} = 2\sqrt{5}\). Площадь одной трапеции: \(S = \frac{6 + 10}{2} \times 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\). Общая площадь: \(4 \times 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5}\) см².

Для нахождения диагонали усечённой пирамиды рассмотрим треугольник, образованный точками \( d_1 \), \( e \) и \( K \). Из условия известно, что длина ребра основания \( BD = 10\sqrt{2} \) см, а длина ребра верхнего основания \( B_1 P_1 = 6\sqrt{2} \) см. Высота усечённой пирамиды равна \( OO_1 = 4 \) см. Чтобы найти диагональ, сначала определим длину отрезка \( dK \), который равен половине разности длин диагоналей оснований: \( dK = \frac{dC — dC_1}{2} = 2\sqrt{2} \) см. Далее вычисляем длину отрезка \( CM = dC — dMK = 10\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см. Используя теорему Пифагора в треугольнике \( d_1 e K \), где катеты равны \( 8 \) и \( 128 \), находим диагональ \( d_1 C = \sqrt{8 + 128} = \sqrt{136} \). Отсюда диагональ усечённой пирамиды равна \( B_1 P = \sqrt{136 — 8} = 12 \) см.

Площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, вычисляется по формуле площади трапеции. Основаниями трапеции служат отрезки \( d_1 c_1 = 6\sqrt{2} \) см и \( d e = 10\sqrt{2} \) см, а высота равна высоте пирамиды \( OO_1 = 4 \) см. Подставляя значения в формулу площади трапеции, получаем \( S = \frac{6\sqrt{2} + 10\sqrt{2}}{2} \times 4 = 32\sqrt{2} \) см². Таким образом, площадь сечения равна \( 32\sqrt{2} \) квадратных сантиметров.

Для вычисления площади боковой поверхности усечённой пирамиды необходимо найти площадь четырёх боковых трапеций. Длины оснований каждой трапеции равны длинам сторон квадратов основания: \( a_1 = 6 \) см и \( a_2 = 10 \) см. Высота каждой трапеции равна длине образующей боковой поверхности, которую находим по формуле \( l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a_2 — a_1}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{10 — 6}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) см. Площадь одной боковой трапеции равна \( S = \frac{a_1 + a_2}{2} \times l = \frac{6 + 10}{2} \times 2\sqrt{5} = 8 \times 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5} \) см². Так как боковых трапеций четыре, общая площадь боковой поверхности равна \( 4 \times 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5} \) см².