ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 19.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 15 см и 27 см, а боковое ребро образует с плоскостью большого основания угол 30°. Найдите:
1) высоту пирамиды;
2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Дано: стороны оснований 15 см и 27 см, угол бокового ребра с плоскостью основания 30°.

Высота пирамиды \( OO_1 \) равна разности половин диагоналей оснований, умноженной на тангенс угла:
\( OO_1 = \left(\frac{27\sqrt{2}}{2} — \frac{15\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \tan 30^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6} \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) l \), где периметры оснований \( P_1 = 15 \cdot 4 = 60 \), \( P_2 = 27 \cdot 4 = 108 \), апофема \( l = 2\sqrt{15} \).

Подставляем:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (60 + 108) \cdot 2\sqrt{15} = 168 \sqrt{15} \) см².

Дано: правильная четырёхугольная усечённая пирамида с основаниями, стороны которых равны 15 см (меньшее основание) и 27 см (большее основание). Боковое ребро образует угол 30° с плоскостью большого основания. Нужно найти высоту пирамиды и площадь её боковой поверхности.

Для начала рассмотрим высоту пирамиды. Высота усечённой пирамиды — это расстояние между плоскостями оснований, перпендикулярное к ним. В данной задаче высоту можно найти через высоту полной пирамиды, из которой усечена верхняя часть. Высота полной правильной четырёхугольной пирамиды равна длине от центра основания до вершины, перпендикулярной к основанию. Для усечённой пирамиды высота равна разности высот двух таких пирамид с основаниями 27 см и 15 см соответственно. Диагональ квадрата основания со стороной \(a\) равна \(a \sqrt{2}\). Половина диагонали — это расстояние от центра основания до середины стороны, то есть \(\frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, половина диагонали большого основания равна \(\frac{27 \sqrt{2}}{2}\), а маленького — \(\frac{15 \sqrt{2}}{2}\). Разность этих величин — это горизонтальное расстояние между центрами оснований. Поскольку боковое ребро образует с плоскостью большого основания угол 30°, высота \(OO_1\) равна произведению этой разности на тангенс угла 30°:

\(OO_1 = \left(\frac{27 \sqrt{2}}{2} — \frac{15 \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \tan 30^\circ = \frac{(27 — 15) \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} = 6 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{6} \text{ см}\).

Это и есть высота усечённой пирамиды.

Далее найдём площадь боковой поверхности. Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из четырёх трапеций, каждая из которых имеет основания равные сторонам оснований и высоту, равную апофеме \(l\) — наклонной высоте бокового ребра. Периметры оснований:

\(P_1 = 15 \times 4 = 60\) см (меньшее основание),

\(P_2 = 27 \times 4 = 108\) см (большее основание).

Апофема \(l\) — это расстояние от середины стороны основания до бокового ребра, перпендикулярное к боковому ребру. Апофему можно найти через разность половин сторон основания и высоту пирамиды. В данном случае апофема равна \(2 \sqrt{15}\) см.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (60 + 108) \cdot 2 \sqrt{15} = 168 \sqrt{15} \text{ см}^2\).

Итог: высота усечённой пирамиды равна \(2 \sqrt{6}\) см, площадь боковой поверхности — \(168 \sqrt{15}\) см².