Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 2.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны прямая \(a\) и точка \(A\) вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку \(A\) и пересекают прямую \(a\), лежат в одной плоскости.
Дано: прямая \(a\), точка \(A\), \(A \notin a\). Нужно доказать, что все прямые, проходящие через \(A\) и пересекающие \(a\), лежат в одной плоскости.
Пусть \(b\) — прямая через \(A\), пересекающая \(a\) в точке \(B\), то есть \(B \in a\), \(A \neq B\). Тогда через \(a\) и \(b\) проходит плоскость \(\alpha\).
Пусть \(c\) — другая прямая через \(A\), пересекающая \(a\) в точке \(C\). Аналогично, через \(a\) и \(c\) проходит плоскость \(\beta\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат в обеих плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), значит \(\alpha = \beta\).
Следовательно, все такие прямые лежат в одной плоскости.
1. Пусть дана прямая \(a\) и точка \(A\), при этом \(A \notin a\).
2. Рассмотрим произвольную прямую \(b\), проходящую через точку \(A\) и пересекающую прямую \(a\) в точке \(B\), то есть \(B \in a\), \(B \neq A\).
3. По аксиоме планиметрии через две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\) существует единственная плоскость \(\alpha\), которая содержит обе эти прямые.
4. Следовательно, точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\).
5. Теперь возьмём другую прямую \(c\), проходящую через точку \(A\) и пересекающую прямую \(a\) в точке \(C\), где \(C \in a\), \(C \neq A\).
6. Аналогично, через прямые \(a\) и \(c\), пересекающиеся в точке \(C\), проходит плоскость \(\beta\).
7. Точки \(A\), \(B\), \(C\) принадлежат обеим плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), так как \(A \in \alpha\), \(A \in \beta\), \(B \in \alpha\), \(C \in \beta\), и обе плоскости содержат прямую \(a\).
8. По аксиоме о единственности плоскости через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) совпадают, то есть \(\alpha = \beta\).
9. Значит, все прямые, проходящие через \(A\) и пересекающие \(a\), лежат в одной плоскости \(\alpha\).
10. Таким образом, доказано, что множество всех таких прямых лежит в одной плоскости, которая определяется прямой \(a\) и точкой \(A\).
