ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести прямую, параллельную этой плоскости. Сколько таких прямых можно провести?

Через точку \(A\), не лежащую в плоскости \(\alpha\), проведём прямую \(a\), параллельную некоторой прямой \(b\) из плоскости \(\alpha\).

Так как \(a \parallel b\) и \(b \subset \alpha\), то \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\).

Через точку вне плоскости можно провести только одну прямую, параллельную этой плоскости.

1. Пусть дана плоскость \(\alpha\) и точка \(A\), такая что \(A \notin \alpha\).

2. Выберем в плоскости \(\alpha\) произвольную прямую \(b\).

3. Через точку \(A\) проведём прямую \(a\), параллельную прямой \(b\), то есть \(a \parallel b\).

4. По определению параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости, и не пересекает эту плоскость, то она параллельна плоскости.

5. Следовательно, прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\).

6. Докажем, что таких прямых не более одной. Предположим, что через точку \(A\) можно провести две разные прямые \(a_1\) и \(a_2\), параллельные плоскости \(\alpha\).

7. Тогда обе прямые \(a_1\) и \(a_2\) параллельны некоторым прямым \(b_1\) и \(b_2\) в плоскости \(\alpha\), соответственно.

8. Если \(a_1\) и \(a_2\) разные, то прямые \(b_1\) и \(b_2\) не совпадают и пересекаются в плоскости \(\alpha\).

9. Тогда по теореме о параллельных прямых через точку вне плоскости можно провести только одну прямую, параллельную плоскости.

10. Следовательно, через точку \(A\), не лежащую в плоскости \(\alpha\), можно провести ровно одну прямую, параллельную плоскости \(\alpha\).