ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рёбрах \(DA, DB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E, F\) и \(M\) так, что \(\angle ABE = \angle FEB\), \(\angle CBM = \angle FMB\). Докажите, что плоскости \(ABC\) и \(EFM\) параллельны.

На рёбрах \(DA, DB, DC\) отмечены точки \(E, F, M\) так, что \(\angle ABE = \angle FEB\) и \(\angle CBM = \angle FMB\).

Из равенства углов следует, что треугольники \(ABE\) и \(FEB\), а также \(CBM\) и \(FMB\) подобны.

Отсюда \(EF \parallel AD\) и \(FM \parallel DC\).

Поскольку \(AD\) и \(DC\) лежат в плоскости \(ABC\), то плоскость \(EFM\) параллельна плоскости \(ABC\).

1. На рёбрах \(DA, DB, DC\) отмечены точки \(E, F, M\) соответственно.

2. По условию выполнены равенства углов: \(\angle ABE = \angle FEB\) и \(\angle CBM = \angle FMB\).

3. Рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(FEB\). Из равенства углов при вершине \(B\) следует, что эти треугольники подобны по двум углам.

4. Аналогично, треугольники \(CBM\) и \(FMB\) подобны по двум углам.

5. Из подобия треугольников \(ABE\) и \(FEB\) следует, что отрезок \(EF\) параллелен отрезку \(AD\).

6. Из подобия треугольников \(CBM\) и \(FMB\) следует, что отрезок \(FM\) параллелен отрезку \(DC\).

7. Отрезки \(AD\) и \(DC\) лежат в плоскости \(ABC\).

8. Поскольку \(EF \parallel AD\) и \(FM \parallel DC\), то векторы \(EF\) и \(FM\) параллельны соответствующим векторам в плоскости \(ABC\).

9. Следовательно, плоскость, проходящая через точки \(E, F, M\), параллельна плоскости \(ABC\).

10. Значит, плоскости \(EFM\) и \(ABC\) параллельны.