ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(a \parallel \beta\), \(a \parallel b\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), плоскость \(\beta\) — в точке \(B\), а прямая \(b\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\) (рис. 20.5). Постройте точку пересечения прямой \(b\) и плоскости \(\alpha\).

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\) и пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\).

Прямая \(b\) параллельна \(a\), значит \(b\) лежит в плоскости, параллельной \(\alpha\) и \(\beta\).

Точка \(C\) — пересечение \(b\) с плоскостью \(\beta\).

Проведём через \(C\) прямую, параллельную \(a\), она пересечёт плоскость \(\alpha\) в точке \(D\).

Точка \(D\) — искомое пересечение прямой \(b\) с плоскостью \(\alpha\).

1. Дано, что прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), то есть \(a \parallel \beta\).

2. Также известно, что прямая \(a\) параллельна прямой \(b\), то есть \(a \parallel b\).

3. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), следовательно, \(A = a \cap \alpha\).

4. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(B\), следовательно, \(B = a \cap \beta\).

5. Прямая \(b\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\), следовательно, \(C = b \cap \beta\).

6. Так как \(a \parallel b\), то прямая \(b\) лежит в плоскости, параллельной плоскости \(\alpha\), или в плоскости, параллельной \(a\).

7. Через точку \(C\), принадлежащую \(b\), проведём прямую, параллельную \(a\). Обозначим её как \(b’\), тогда \(b’ \parallel a\) и \(b’\) проходит через \(C\).

8. Поскольку \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), а \(b’\) параллельна \(a\), то \(b’\) пересечёт плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(D\).

9. Точка \(D\) является точкой пересечения прямой \(b\) и плоскости \(\alpha\), то есть \(D = b \cap \alpha\).

10. Итог: искомая точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\alpha\) — точка \(D\), которая лежит на прямой, проходящей через \(C\) и параллельной \(a\), и принадлежит плоскости \(\alpha\).