ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) и пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\), плоскость \(\beta\) — в точке \(N\), а прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\) (рис. 20.6). Постройте точку пересечения прямой \(b\) и плоскости \(\beta\).

Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) и пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\), плоскость \(\beta\) — в точке \(N\), а прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\) (рис. 20.6). Постройте точку пересечения прямой \(b\) и плоскости \(\beta\).

Прямая \(a\) пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(M\) и \(N\), значит вектор \( \overrightarrow{MN} \) параллелен направлению между плоскостями.

Точка \(K\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\) находится сдвигом точки \(K\) на вектор \( \overrightarrow{MN} \).

Искомая точка пересечения прямой \(b\) и плоскости \(\beta\) есть \(P = K + \overrightarrow{MN}\).

1. Даны две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), а также две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\).

2. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\) и плоскость \(\beta\) в точке \(N\).

3. Поскольку плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, вектор \( \overrightarrow{MN} \) направлен перпендикулярно этим плоскостям и задаёт смещение между ними.

4. Прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).

5. Чтобы найти точку пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\), необходимо перенести точку \(K\) из плоскости \(\alpha\) в плоскость \(\beta\) вдоль направления вектора \( \overrightarrow{MN} \).

6. Вектор \( \overrightarrow{MN} \) можно определить как разность координат точек \(N\) и \(M\): \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} — \overrightarrow{M} \).

7. Тогда точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\) будет иметь координаты \( \overrightarrow{P} = \overrightarrow{K} + \overrightarrow{MN} \).

8. Таким образом, искомая точка \(P\) лежит на прямой \(b\) и одновременно на плоскости \(\beta\).

9. Проверка: поскольку \(P\) получена сдвигом точки \(K\) вдоль направления, перпендикулярного плоскостям, она гарантированно принадлежит плоскости \(\beta\).

10. Ответ: точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\) есть \(P = K + \overrightarrow{MN}\).