ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы грани \(ADB\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(E\), а медианы грани \(BDC\) — в точке \(F\). Докажите, что прямая \(EF\) параллельна плоскости \(ABC\).

Точки \(E\) и \(F\) — центроиды треугольников \(ADB\) и \(BDC\), соответственно.

Их координаты: \(E = \frac{\vec{A} + \vec{D} + \vec{B}}{3}\), \(F = \frac{\vec{B} + \vec{D} + \vec{C}}{3}\).

Вектор \(EF = F — E = \frac{\vec{C} — \vec{A}}{3}\).

Так как \(EF\) параллелен \(AC\), а \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), следовательно, \(EF \parallel ABC\).

1. Пусть \(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}\) — радиус-векторы вершин тетраэдра \(DABC\).

2. Точка \(E\) — центроид треугольника \(ADB\), поэтому её радиус-вектор равен \( \vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{D} + \vec{B}}{3} \).

3. Точка \(F\) — центроид треугольника \(BDC\), поэтому её радиус-вектор равен \( \vec{F} = \frac{\vec{B} + \vec{D} + \vec{C}}{3} \).

4. Найдём вектор \( \vec{EF} = \vec{F} — \vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{D} + \vec{C}}{3} — \frac{\vec{A} + \vec{D} + \vec{B}}{3} \).

5. Упростим выражение: \( \vec{EF} = \frac{\vec{C} — \vec{A}}{3} \).

6. Вектор \( \vec{EF} \) коллинеарен вектору \( \vec{AC} \), так как \( \vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{AC} \).

7. Вектор \( \vec{AC} \) лежит в плоскости \( ABC \), следовательно, вектор \( \vec{EF} \) параллелен плоскости \( ABC \).

8. Из этого следует, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( ABC \).

9. Таким образом, доказано, что \( EF \parallel ABC \).

10. Итог: \( EF \parallel ABC \).