ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На ребре \(AB\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(E\) (рис. 20.9). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(E\) параллельно плоскости \(BCD\).

Плоскость сечения проходит через точку \(E\) на ребре \(AB\) и параллельна плоскости \(BCD\).

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами \(AD\) и \(DC\), обозначим их \(F\) и \(K\).

Точки \(F\) и \(K\) находятся так, чтобы отрезки \(EF\) и \(EK\) были параллельны соответствующим сторонам треугольника \(BCD\).

Соединив точки \(E\), \(F\), \(K\), получаем треугольник \(EFK\) — искомое сечение тетраэдра.

1. Пусть \(E\) — точка на ребре \(AB\), заданная параметром \(t\), тогда координаты \(E\) можно записать как \(E = A + t(B — A)\), где \(0 < t < 1\).

2. Плоскость \(BCD\) задается тремя точками \(B\), \(C\), \(D\). Вектор нормали к этой плоскости равен \( \vec{n} = (B — C) \times (B — D) \).

3. Плоскость сечения должна проходить через точку \(E\) и быть параллельна плоскости \(BCD\), значит её нормаль совпадает с вектором \( \vec{n} \).

4. Уравнение плоскости сечения можно записать как \( \vec{n} \cdot (X — E) = 0 \), где \(X\) — произвольная точка на плоскости.

5. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами \(AD\) и \(DC\). Для ребра \(AD\) параметризуем точку \(F = A + \lambda (D — A)\).

6. Подставим \(F\) в уравнение плоскости сечения: \( \vec{n} \cdot (F — E) = 0 \), откуда найдём параметр \(\lambda\).

7. Аналогично для ребра \(DC\) параметризуем точку \(K = D + \mu (C — D)\).

8. Подставим \(K\) в уравнение плоскости сечения: \( \vec{n} \cdot (K — E) = 0 \), найдём параметр \(\mu\).

9. Точки \(E\), \(F\), \(K\) принадлежат плоскости сечения и образуют треугольник — искомое сечение тетраэдра.

10. Соединим точки \(E\), \(F\), \(K\) прямыми, получая сечение, параллельное плоскости \(BCD\) и проходящее через \(E\).