ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На ребре \(DA\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MD = 4 : 3\) (рис. 20.10). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) параллельно плоскости \(ABC\). Вычислите площадь полученного сечения, если \(AB = BC = AC = 28\) см.

Точка M делит ребро DA в отношении 4 к 3, значит коэффициент подобия сечения к треугольнику ABC равен \( k = \frac{3}{7} \).

Площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 28^2 = 196 \sqrt{3} \).

Площадь сечения вычисляется по формуле \( S_{\text{сечение}} = k^2 \times S_{ABC} = \left(\frac{3}{7}\right)^2 \times 196 \sqrt{3} = \frac{9}{49} \times 196 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \).

Ответ: \( 36 \sqrt{3} \) см².

1. Рассмотрим тетраэдр DABC, где точка M лежит на ребре DA и делит его в отношении AM : MD = 4 : 3.

2. Плоскость сечения проходит через точку M и параллельна плоскости ABC. Значит сечение будет треугольником, подобным треугольнику ABC.

3. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению длины отрезка от вершины D до точки M к длине ребра DA, то есть \( k = \frac{DM}{DA} \).

4. Так как \( AM : MD = 4 : 3 \), то \( DM = \frac{3}{7} DA \), следовательно \( k = \frac{3}{7} \).

5. Стороны треугольника ABC равны 28 см, значит ABC — равносторонний треугольник со стороной 28.

6. Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле для равностороннего треугольника: \( S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 28^2 = 196 \sqrt{3} \).

7. Площадь сечения равна площади треугольника ABC, умноженной на квадрат коэффициента подобия: \( S_{\text{сечение}} = k^2 \times S_{ABC} = \left(\frac{3}{7}\right)^2 \times 196 \sqrt{3} \).

8. Вычисляем: \( \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49} \), тогда \( S_{\text{сечение}} = \frac{9}{49} \times 196 \sqrt{3} \).

9. Умножаем: \( \frac{9}{49} \times 196 = 36 \), значит \( S_{\text{сечение}} = 36 \sqrt{3} \).

10. Ответ: площадь сечения равна 36 \( \sqrt{3} \) см².