ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник \(A_1 B_1 C_1\) — изображение прямоугольного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\), отрезок \(A_1 B_1\) — изображение гипотенузы \(AB\). Постройте изображение квадрата, вписанного в треугольник \(ABC\) и имеющего с ним общий угол, если:

1) \(AC = BC\);

2) \(AC : BC = 2 : 3\).

Для равнобедренного треугольника \(AC = BC\) квадрат вписывается так, что одна его вершина совпадает с углом \(C\), а две стороны лежат на катетах \(AC\) и \(BC\). Четвертая вершина квадрата лежит на гипотенузе \(AB\).

Для треугольника с отношением катетов \(AC : BC = 2 : 3\) квадрат строится аналогично, но длины сторон квадрата пропорциональны катетам. Вершина квадрата, лежащая на гипотенузе, определяется из условия равенства сторон квадрата и проекций на катеты.

Таким образом, квадрат вписан в треугольник с общим углом при \(C\), стороны квадрата параллельны катетам, а одна вершина лежит на гипотенузе \(AB\).

1) Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом при \(C\). Обозначим катеты \(AC = b\), \(BC = a\), гипотенузу \(AB = c\).

2) Рассмотрим квадрат, вписанный в треугольник и имеющий общий угол с треугольником при вершине \(C\). Обозначим сторону квадрата через \(x\). Тогда две стороны квадрата лежат на катетах \(AC\) и \(BC\), а одна вершина квадрата лежит на гипотенузе \(AB\).

3) Вершины квадрата обозначим \(C, D, E, F\), где \(D\) лежит на \(AC\), \(F\) лежит на \(BC\), а \(E\) — на гипотенузе \(AB\).

4) Координаты точек при условии, что \(C\) в начале координат, \(AC\) вдоль оси \(y\), \(BC\) вдоль оси \(x\):
\(C = (0, 0)\), \(D = (0, x)\), \(F = (x, 0)\).

5) Уравнение гипотенузы \(AB\) в координатах: прямая, проходящая через точки \(A(0, b)\) и \(B(a, 0)\), имеет уравнение \(y = -\frac{b}{a}x + b\).

6) Поскольку точка \(E = (x, x)\) лежит на гипотенузе, подставим в уравнение:
\(x = -\frac{b}{a} x + b\).

7) Решим уравнение относительно \(x\):
\(x + \frac{b}{a} x = b\),
\(x \left(1 + \frac{b}{a}\right) = b\),
\(x = \frac{b}{1 + \frac{b}{a}} = \frac{b}{\frac{a + b}{a}} = \frac{a b}{a + b}\).

8) Для равнобедренного треугольника \(a = b\), тогда
\(x = \frac{a \cdot a}{a + a} = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}\).

9) Для случая \(AC : BC = 2 : 3\), то есть \(b : a = 2 : 3\), подставим \(b = 2k\), \(a = 3k\):
\(x = \frac{(3k)(2k)}{3k + 2k} = \frac{6k^2}{5k} = \frac{6}{5} k\).

10) Таким образом, сторона вписанного квадрата равна \(x = \frac{a b}{a + b}\), вершина квадрата \(E\) лежит на гипотенузе, а остальные вершины на катетах, что соответствует построению квадрата с общим углом при \(C\).