ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(t\) параллельна стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) и не лежит в плоскости \(ABC\), \(\angle ABC = \angle BAC = 30^\circ\).

1) Докажите, что прямые \(t\) и \(BC\) скрещивающиеся.

2) Найдите угол между прямыми \(t\) и \(BC\).

Прямая \(t\) параллельна \(AC\), но не лежит в плоскости \(ABC\), следовательно, \(t\) и \(BC\) не пересекаются и не параллельны, значит они скрещивающиеся.

Угол между \(t\) и \(BC\) равен углу между \(AC\) и \(BC\). В треугольнике \(ABC\) углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(30^\circ\), значит угол при вершине \(C\) равен \(180^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 120^\circ\).

Ответ: \(t\) и \(BC\) скрещивающиеся, угол между ними равен \(120^\circ\).

1) Прямая \( t \) параллельна стороне \( AC \) треугольника \( ABC \), но при этом не лежит в плоскости \( ABC \). Это значит, что прямая \( t \) не пересекает плоскость \( ABC \) и, следовательно, не может пересекаться с любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и с прямой \( BC \). При этом, поскольку \( t \) параллельна \( AC \), а \( AC \) и \( BC \) — стороны треугольника, то \( t \) не может быть параллельна \( BC \), потому что \( AC \) и \( BC \) пересекаются в точке \( C \). Таким образом, прямые \( t \) и \( BC \) не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны, а значит, они являются скрещивающимися.

2) Чтобы найти угол между прямыми \( t \) и \( BC \), нужно понять, что этот угол равен углу между направляющими векторами этих прямых, или, что эквивалентно, углу между прямыми \( AC \) и \( BC \), так как \( t \parallel AC \). Рассмотрим треугольник \( ABC \). По условию углы при вершинах \( A \) и \( B \) равны \( 30^\circ \). Известно, что сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), следовательно, угол при вершине \( C \) вычисляется по формуле: \( 180^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 120^\circ \). Значит, угол между сторонами \( AC \) и \( BC \) равен \( 120^\circ \).

3) Таким образом, угол между прямыми \( t \) и \( BC \) равен \( 120^\circ \). Итого, мы доказали, что \( t \) и \( BC \) — скрещивающиеся прямые, поскольку не лежат в одной плоскости и не пересекаются, и нашли угол между ними, который совпадает с углом при вершине \( C \) треугольника \( ABC \) и равен \( 120^\circ \). Это полностью соответствует геометрическим свойствам параллельных прямых и углов треугольника.