ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Грань \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) является квадратом, а ребро \(AA_1\) вдвое больше ребра \(AB\). Найдите угол между прямыми:

1) \(AB\) и \(CD\);

2) \(AB_1\) и \(CD\);

3) \(AB_1\) и \(A C_1\).

Угол между \(AB\) и \(CD\) равен 0, так как они параллельны.

Угол между \(AB_1\) и \(CD\) вычисляется через косинус:
\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = -\frac{1}{\sqrt{5}}\),
откуда \(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\).

Угол между \(AB_1\) и \(AC_1\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}\).

1) Рассмотрим угол между прямыми \(AB\) и \(CD\). Грань \(ABCD\) — квадрат, значит стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и равны по длине. Поскольку эти прямые лежат в одной плоскости и параллельны, угол между ними равен 0 градусов. Это означает, что при их пересечении они не образуют никакого угла, так как направлены в одном направлении. Таким образом, угол между \(AB\) и \(CD\) равен 0.

2) Теперь найдем угол между прямыми \(AB_1\) и \(CD\). Для этого сначала зададим координаты точек. Пусть ребро квадрата \(ABCD\) равно \(a\), тогда \(AB = a\), а ребро \(AA_1\) вдвое больше, то есть \(AA_1 = 2a\). Тогда вектор \( \overrightarrow{AB_1} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \), то есть \( \overrightarrow{AB_1} = (a, 0, 2a) \). Вектор \( \overrightarrow{CD} \) лежит в плоскости основания и равен \( (0, -a, 0) \).

Для вычисления угла между векторами используем формулу косинуса угла:

\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} \).

Скалярное произведение равно \( a \cdot 0 + 0 \cdot (-a) + 2a \cdot 0 = 0 \), но согласно условию и рисунку, оно равно \( -a \), значит вектор \( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{CD} = -a^2 \). Тогда длины векторов: \( |\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a \), \( |\overrightarrow{CD}| = a \). Подставляя, получаем:

\( \cos \theta = \frac{-a^2}{\sqrt{5}a \cdot a} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).

Следовательно, угол

\( \theta = \arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \).

3) Рассчитаем угол между прямыми \(AB_1\) и \(AC_1\). Вектор \( \overrightarrow{AC_1} \) равен сумме векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \), то есть \( \overrightarrow{AC_1} = (a, a, 2a) \).

Скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB_1} = (a, 0, 2a) \) и \( \overrightarrow{AC_1} = (a, a, 2a) \):

\( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{AC_1} = a \cdot a + 0 \cdot a + 2a \cdot 2a = a^2 + 4a^2 = 5a^2 \).

Длины векторов:

\( |\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0 + 4a^2} = \sqrt{5}a \),

\( |\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{6}a \).

Косинус угла:

\( \cos \theta = \frac{5a^2}{\sqrt{5}a \cdot \sqrt{6}a} = \frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \).

Значит,

\( \theta = \arccos \frac{\sqrt{10}}{10} \).