ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину \(B\) треугольника \(ABC\) проведена прямая \(BD\), перпендикулярная плоскости \(ABC\) (рис. 20.12). Точка \(M\) — середина отрезка \(AC\). Найдите отрезки \(DA\) и \(DM\), если \(AB = BC = 10\) см, \(AC = 12\) см, \(DB = 24\) см.

Через вершину \(B\) проведена перпендикулярная прямая \(BD\) к плоскости \(ABC\). В треугольнике \(DBA\) по теореме Пифагора: \(DA^2 = DB^2 + AB^2\), значит \(DA = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = 26\) см.

Точка \(M\) — середина \(AC\), значит \(AM = MC = 6\) см. В треугольнике \(BMC\): \(BM = \sqrt{BC^2 — MC^2} = \sqrt{10^2 — 6^2} = 8\) см.

В треугольнике \(DBM\) по теореме Пифагора: \(DM^2 = DB^2 + BM^2\), значит \(DM = \sqrt{24^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 64} = 8\sqrt{10}\) см.

1. Рассмотрим треугольник \(DBA\). В условии известно, что отрезок \(DB\) равен 24 см, а отрезок \(AB\) равен 10 см. По теореме Пифагора, которая применяется к прямоугольному треугольнику, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенузой является отрезок \(DA\), а катетами — отрезки \(DB\) и \(AB\). Следовательно, можно записать уравнение: \(DA^2 = DB^2 + AB^2\). Подставим известные значения: \(DA^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\). Чтобы найти длину \(DA\), необходимо извлечь квадратный корень из 676, что даёт \(DA = \sqrt{676} = 26\) см.

2. Точка \(M\) — середина отрезка \(AC\). Это означает, что \(M\) делит отрезок \(AC\) на две равные части. Если длина отрезка \(AC\) равна 12 см, то длина каждого из отрезков \(AM\) и \(MC\) будет ровно половиной длины \(AC\). Запишем это как \(AM = MC = \frac{12}{2} = 6\) см. Таким образом, точка \(M\) находится ровно посередине между точками \(A\) и \(C\), что важно для дальнейших вычислений.

3. Теперь рассмотрим треугольник \(BMC\). В этом треугольнике известна длина стороны \(BC\), равная 10 см, и длина отрезка \(MC\), равная 6 см. Так как \(M\) — середина \(AC\), и треугольник \(BMC\) является прямоугольным, можно применить теорему Пифагора для нахождения длины отрезка \(BM\). По теореме Пифагора: \(BM^2 = BC^2 — MC^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64\). Извлекая квадратный корень, получаем \(BM = \sqrt{64} = 8\) см. Это значит, что длина отрезка \(BM\) равна 8 см.

4. Рассмотрим теперь треугольник \(DBM\). В этом треугольнике известны длины отрезков \(DB\) и \(BM\), равные 24 см и 8 см соответственно. Чтобы найти длину отрезка \(DM\), снова применим теорему Пифагора, так как треугольник \(DBM\) прямоугольный. Согласно теореме: \(DM^2 = DB^2 + BM^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640\). Извлечём квадратный корень из 640, чтобы найти длину \(DM\): \(DM = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}\) см. Таким образом, длина отрезка \(DM\) равна \(8\sqrt{10}\) сантиметров.