Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\), расположенная вне плоскости ромба \(ABCD\), такова, что \(\angle ABM = \angle CBM = 90^\circ\). Найдите отрезок \(MD\), если \(AD = a\), \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle MDB = \beta\).
В ромбе диагональ \(BD\) равна \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\).
По определению косинуса угла \(\beta\) в треугольнике \(MBD\) имеем \(\cos \beta = \frac{BD}{MD}\).
Отсюда \(MD = \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta}\).
Ромб \(ABCD\) характеризуется равенством всех сторон, значит \(AD = AB = BC = CD = a\). Угол при вершине \(B\) задан как \(\alpha\). Диагональ \(BD\) делит угол \(\alpha\) пополам, так как в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов. Поэтому угол \(ABD\) равен \(\frac{\alpha}{2}\). Рассмотрим треугольник \(ABD\), в котором сторона \(AB = a\), а угол при вершине \(B\) равен \(\frac{\alpha}{2}\). Диагональ \(BD\) в этом треугольнике можно выразить через сторону \(a\) и угол \(\frac{\alpha}{2}\) с помощью формулы для проекции стороны на диагональ: \(BD = 2a \cos \frac{\alpha}{2}\).
Точка \(M\) расположена вне плоскости ромба так, что углы \(\angle ABM\) и \(\angle CBM\) равны \(90^\circ\). Это означает, что \(M\) лежит на перпендикуляре к плоскости ромба, проходящем через точку \(B\). Таким образом, отрезок \(MB\) перпендикулярен отрезкам \(AB\) и \(CB\). Рассмотрим треугольник \(MBD\), в котором известен угол \(\beta = \angle MDB\). По определению косинуса угла \(\beta\) в треугольнике \(MBD\) имеем соотношение \(\cos \beta = \frac{BD}{MD}\), где \(MD\) — искомая длина.
Из этого равенства выражаем \(MD\) как \(MD = \frac{BD}{\cos \beta}\). Подставляя найденное ранее выражение для диагонали \(BD\), получаем окончательную формулу для длины отрезка \(MD\): \(MD = \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta}\). Эта формула связывает длину \(MD\) с известными параметрами ромба и углом \(\beta\), что позволяет вычислить искомую длину при заданных значениях \(a\), \(\alpha\) и \(\beta\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!