ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через центр \(O\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(MO\), перпендикулярная плоскости квадрата. Точка \(K\) — середина отрезка \(CD\), \(MC = 6\) см, \(\angle MCK = 60^\circ\).

1) Докажите, что прямая \(CD\) перпендикулярна плоскости \(MOK\).

2) Найдите отрезок \(MO\).

Прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости квадрата, а \(OK\) лежит в плоскости квадрата, значит \(MO \perp OK\). Так как \(CD \perp OK\) и \(CD\) пересекает \(MO\) в точке \(O\), то \(CD \perp\) плоскости \(MOK\).

Отрезок \(MO\) равен \(MC \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см.

1) Прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\) по условию. Точка \(K\) — середина отрезка \(CD\), значит \(OK\) лежит в плоскости квадрата. Тогда \(MO \perp OK\), так как \(MO\) перпендикулярна плоскости, а \(OK\) лежит в этой плоскости. Так как \(CD\) перпендикулярен \(OK\) (потому что \(K\) — середина стороны квадрата, а \(OK\) — радиус, проведённый к середине стороны), то \(CD\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым \(MO\) и \(OK\), лежащим в плоскости \(MOK\). Следовательно, \(CD \perp\) плоскости \(MOK\).

2) Рассмотрим треугольник \(MCK\). По условию, \(MC = 6\) см, угол \(\angle MCK = 60^\circ\). Так как \(K\) — середина \(CD\), а \(ABCD\) — квадрат, угол при вершине \(C\) между \(CD\) и \(CK\) равен \(90^\circ\), следовательно треугольник \(MCK\) является прямоугольным.

Для нахождения \(MO\) используем, что \(MO\) — высота, проведённая из точки \(M\) на плоскость квадрата, и угол между \(MC\) и \(CD\) равен \(45^\circ\). Тогда \(MO = MC \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см.