ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\). На отрезке \(AC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MC = 1 : 2\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AC\).

Точка \(M\) делит диагональ \(AC\) в отношении \(1:2\), значит \(M\) имеет координаты \(\left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)\).

Плоскость перпендикулярна \(AC\), её нормальный вектор совпадает с вектором \(\vec{AC} = (a,a,0)\).

Уравнение плоскости: \(a(x — \frac{a}{3}) + a(y — \frac{a}{3}) = 0\), что упрощается до \(x + y = \frac{2a}{3}\).

На ребрах куба находим точки пересечения с этой плоскостью:

\(P\left(\frac{2a}{3}, 0, 0\right)\), \(Q\left(0, \frac{2a}{3}, 0\right)\), \(R\left(\frac{2a}{3}, 0, a\right)\), \(S\left(0, \frac{2a}{3}, a\right)\).

Сечение куба — параллелограмм \(PQRS\).

1. Пусть сторона куба равна \(a\). Введём систему координат так, что вершина \(A\) имеет координаты \((0,0,0)\), \(B (a,0,0)\), \(C (a,a,0)\), \(D (0,a,0)\), а верхние вершины \(A_1 (0,0,a)\), \(B_1 (a,0,a)\), \(C_1 (a,a,a)\), \(D_1 (0,a,a)\).

2. Диагональ основания \(AC\) имеет вектор \(\vec{AC} = (a,a,0)\).

3. Точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(AM : MC = 1 : 2\). Тогда координаты \(M\) вычисляются по формуле деления отрезка:

\(M = A + \frac{1}{1+2} \vec{AC} = \left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)\).

4. Плоскость должна проходить через точку \(M\) и быть перпендикулярна вектору \(\vec{AC}\). Значит нормальный вектор плоскости совпадает с \(\vec{AC}\).

5. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором \(\vec{n} = (a,a,0)\), проходящей через точку \(M(x_0,y_0,z_0)\), имеет вид:

\(a(x — x_0) + a(y — y_0) + 0 \cdot (z — z_0) = 0\).

Подставляя \(x_0 = \frac{a}{3}\), \(y_0 = \frac{a}{3}\), \(z_0=0\), получаем:

\(a \left(x — \frac{a}{3}\right) + a \left(y — \frac{a}{3}\right) = 0\).

6. Раскроем скобки:

\(a x — \frac{a^2}{3} + a y — \frac{a^2}{3} = 0\).

Сложим:

\(a(x + y) = \frac{2 a^2}{3}\).

Разделим обе части на \(a\), \(a \neq 0\):

\(x + y = \frac{2 a}{3}\).

7. Чтобы найти сечение куба плоскостью, найдём точки пересечения плоскости с рёбрами куба.

Проверим рёбра нижнего основания:

— Ребро \(AB\): \(y=0, z=0\), тогда \(x + 0 = \frac{2 a}{3}\), значит \(x = \frac{2 a}{3}\), точка пересечения \(P\left(\frac{2 a}{3}, 0, 0\right)\).

— Ребро \(BC\): \(x = a, z=0\), тогда \(a + y = \frac{2 a}{3}\), \(y = -\frac{a}{3}\), вне отрезка, пересечения нет.

— Ребро \(CD\): \(y = a, z=0\), \(x + a = \frac{2 a}{3}\), \(x = -\frac{a}{3}\), вне отрезка, пересечения нет.

— Ребро \(DA\): \(x=0, z=0\), \(0 + y = \frac{2 a}{3}\), \(y = \frac{2 a}{3}\), точка \(Q\left(0, \frac{2 a}{3}, 0\right)\).

8. Проверим рёбра верхнего основания:

— Ребро \(A_1 B_1\): \(y=0, z=a\), \(x + 0 = \frac{2 a}{3}\), точка \(R\left(\frac{2 a}{3}, 0, a\right)\).

— Ребро \(B_1 C_1\): \(x=a, z=a\), \(a + y = \frac{2 a}{3}\), \(y = -\frac{a}{3}\), вне отрезка, нет пересечения.

— Ребро \(C_1 D_1\): \(y=a, z=a\), \(x + a = \frac{2 a}{3}\), \(x = -\frac{a}{3}\), вне отрезка, нет пересечения.

— Ребро \(D_1 A_1\): \(x=0, z=a\), \(0 + y = \frac{2 a}{3}\), \(y = \frac{2 a}{3}\), точка \(S\left(0, \frac{2 a}{3}, a\right)\).

9. Проверим вертикальные рёбра:

— Ребро \(A A_1\): \(x=0, y=0\), \(0 + 0 = 0 \neq \frac{2 a}{3}\), пересечения нет.

— Ребро \(B B_1\): \(x=a, y=0\), \(a + 0 = a \neq \frac{2 a}{3}\), нет пересечения.

— Ребро \(C C_1\): \(x=a, y=a\), \(a + a = 2 a \neq \frac{2 a}{3}\), нет пересечения.

— Ребро \(D D_1\): \(x=0, y=a\), \(0 + a = a \neq \frac{2 a}{3}\), нет пересечения.

10. Таким образом, сечение куба плоскостью \(x + y = \frac{2 a}{3}\), проходящей через \(M\) и перпендикулярной \(AC\), является четырёхугольником с вершинами:

\(P\left(\frac{2 a}{3}, 0, 0\right)\), \(Q\left(0, \frac{2 a}{3}, 0\right)\), \(S\left(0, \frac{2 a}{3}, a\right)\), \(R\left(\frac{2 a}{3}, 0, a\right)\).