ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\). Через точки \(A\) и \(B\) проведены прямые, перпендикулярные плоскости \(\alpha\) и пересекающие её в точках \(A_1\) и \(B_1\), соответственно. Найдите отрезок \(B_1 C\), если \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 6\) см, \(A_1 B_1 = 4\) см.

Через точки \(A\) и \(B\) проведены перпендикуляры к плоскости \(\alpha\), значит отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости. Из условия \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 6\) см, \(A_1 B_1 = 4\) см.

Треугольник \(A_1 B_1 C\) подобен треугольнику \(A B C\) по углам, так как \(A_1 B_1\) и \(AB\) — проекции на плоскость.

Используем теорему Пифагора для отрезка \(B_1 C\), зная \(BB_1 = 6\) см и расстояние \(B C\) пропорционально \(A_1 B_1\).

Рассчитаем:

\(B_1 C = \sqrt{BB_1^2 — (A_1 B_1)^2} = \sqrt{6^2 — 4^2} = \sqrt{36 — 16} = \sqrt{20} = 2.4\) см.

Ответ: \(B_1 C = 2.4\) см.

1. Из условия известно, что отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\). Через точки \(A\) и \(B\) проведены перпендикуляры к плоскости \(\alpha\), которые пересекают её в точках \(A_1\) и \(B_1\).

2. Длины перпендикуляров равны \(AA_1 = 16\) см и \(BB_1 = 6\) см, а расстояние между точками проекций \(A_1 B_1 = 4\) см.

3. Рассмотрим треугольник \(A A_1 B_1\). В нем отрезок \(A_1 B_1\) — основание, а \(AA_1\) и \(BB_1\) — высоты, проведённые из точек \(A\) и \(B\) на плоскость \(\alpha\).

4. Поскольку \(A_1 B_1\) — проекция отрезка \(AB\) на плоскость \(\alpha\), то треугольники \(A A_1 B_1\) и \(B B_1 C\) подобны.

5. В треугольнике \(B B_1 C\) известна длина перпендикуляра \(BB_1 = 6\) см, нужно найти отрезок \(B_1 C\).

6. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(B B_1 C\), где \(B B_1\) — катет, а \(B_1 C\) — другой катет, найдём \(B_1 C\).

7. По условию, \(A_1 B_1 = 4\) см является основанием проекции, поэтому для нахождения \(B_1 C\) используем формулу:

\(B_1 C = \sqrt{BB_1^2 — A_1 B_1^2} = \sqrt{6^2 — 4^2} = \sqrt{36 — 16} = \sqrt{20}\).

8. Корень из 20 можно упростить:

\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} = 2.4\) см.

Ответ: \(B_1 C = 2.4\) см.