ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\). Через точки \(A\) и \(B\) проведены прямые, перпендикулярные плоскости \(\alpha\) и пересекающие её в точках \(A_1\) и \(B_1\), соответственно. Найдите отрезок \(B_1 C\), если \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 6\) см, \(A_1 B_1 = 4\) см.

Пусть при симметрии относительно плоскости \(\alpha\) плоскость \(\beta\) переходит в \(\beta_1\).

Если \(\beta \perp \alpha\), то любая прямая \(d\), лежащая в \(\beta\) и перпендикулярная \(\alpha\), при симметрии перейдёт в прямую \(d_1\), лежащую в \(\beta_1\), которая также будет перпендикулярна \(\alpha\).

Так как симметрия сохраняет углы, из \(\beta \perp \alpha\) следует \(\beta_1 \perp \alpha\).

1. Пусть дана плоскость \(\beta\) и плоскость \(\alpha\), относительно которой выполняется симметрия. Обозначим образ плоскости \(\beta\) при симметрии относительно \(\alpha\) как \(\beta_1\).

2. Из условия известно, что \(\beta \perp \alpha\), то есть плоскость \(\beta\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).

3. По определению перпендикулярности плоскостей, если \(\beta \perp \alpha\), то любая прямая \(d\), лежащая в \(\beta\), и перпендикулярная \(\alpha\), образует с \(\alpha\) прямой угол.

4. Рассмотрим произвольную прямую \(d\) в плоскости \(\beta\), перпендикулярную \(\alpha\). При симметрии относительно \(\alpha\) прямая \(d\) перейдёт в прямую \(d_1\), лежащую в плоскости \(\beta_1\).

5. Симметрия относительно плоскости \(\alpha\) сохраняет углы между прямыми и плоскостями, а также сохраняет перпендикулярность к \(\alpha\).

6. Следовательно, прямая \(d_1\) будет перпендикулярна плоскости \(\alpha\), так как она является образом прямой \(d\), перпендикулярной \(\alpha\).

7. Поскольку прямая \(d_1\) лежит в плоскости \(\beta_1\) и перпендикулярна \(\alpha\), это означает, что плоскость \(\beta_1\) содержит прямую, перпендикулярную \(\alpha\).

8. Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, и при этом плоскости параллельны или совпадают, то они перпендикулярны.

9. Из условия симметрии следует, что плоскости \(\beta\) и \(\beta_1\) параллельны или совпадают, поэтому \(\beta_1 \perp \alpha\).

10. Таким образом, доказано, что если \(\beta \perp \alpha\), то и образ \(\beta_1\) при симметрии относительно \(\alpha\) будет перпендикулярен \(\alpha\).