ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки \(M\) проведены к плоскости \(\alpha\) перпендикуляр \(MH\) и равные наклонные \(MA\) и \(MB\) (рис. 20.13). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(\angle MAH = 30^\circ\), \(\angle AMB = 60^\circ\), \(MH = 5\) см.

Из треугольника \(MAH\) по синусу угла 30° находим наклонную: \(MA = \frac{MH}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10\) см.

Наклонные равны, значит \(MB = 10\) см.

В треугольнике \(AMB\) по теореме косинусов: \(AB^2 = MA^2 + MB^2 — 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 60^\circ = 100 + 100 — 200 \cdot \frac{1}{2} = 100\).

Отсюда \(AB = \sqrt{100} = 10\) см.

1. Из условия известно, что \(MH = 5\) см — перпендикуляр от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\), а угол между наклонной \(MA\) и перпендикуляром \(MH\) равен 30°. В треугольнике \(MAH\) применяем синус угла 30°: \( \sin 30^\circ = \frac{MH}{MA} \). Отсюда находим длину наклонной \(MA\): \( MA = \frac{MH}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10 \) см.

2. По условию наклонные равны, значит \(MB = MA = 10\) см.

3. Рассмотрим треугольник \(AMB\), в котором известны стороны \(MA = MB = 10\) см и угол между ними \(\angle AMB = 60^\circ\). По теореме косинусов вычислим длину основания \(AB\):

\( AB^2 = MA^2 + MB^2 — 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 60^\circ = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 100 + 100 — 100 = 100 \).

4. Извлекаем корень:

\( AB = \sqrt{100} = 10 \) см.