ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между диагональю прямоугольника \(ABCD\) и одной из его сторон равен \(30^\circ\). Точка \(M\) удалена от каждой вершины прямоугольника на \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см, а от его плоскости — на \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) см. Найдите площадь прямоугольника.

Точка \(M\) удалена от плоскости прямоугольника на \(MO = 5\sqrt{2}\) см и от каждой вершины на \(MC = 5\sqrt{3}\) см. В треугольнике \(MOC\) вычисляем \(OC = \sqrt{MC^2 — MO^2} = \sqrt{75 — 50} = 5\) см, где \(O\) — середина диагонали.

Диагональ \(AC = 2 \cdot OC = 10\) см. Угол между диагональю и стороной \(AD\) равен \(30^\circ\), значит сторона \(BC = \frac{1}{2} AC = 5\) см.

Сторона \(AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{100 — 25} = 5\sqrt{3}\) см.

Площадь прямоугольника \(S = AB \cdot BC = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}\) см².

Точка \(M\) удалена от плоскости прямоугольника на \(MO = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) см и от каждой вершины на \(MC = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см. Рассмотрим треугольник \(MOC\), где \(O\) — середина диагонали \(AC\). По теореме Пифагора вычислим \(OC\):

\(
OC = \sqrt{MC^2 — MO^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 — \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{9} — \frac{25 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{75}{9} — \frac{50}{4}}.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\[
\frac{75}{9} = \frac{100}{12}, \quad \frac{50}{4} = \frac{150}{12},
\]

тогда

\[
OC = \sqrt{\frac{100}{12} — \frac{150}{12}} = \sqrt{-\frac{50}{12}},
\]

что невозможно. Значит в условии ошибка, или нужно взять другие данные из фото:

Из фото: \(MO = 5\) см, \(MC = 5\sqrt{3}\) см.

Тогда

\[
OC = \sqrt{MC^2 — MO^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 — 5^2} = \sqrt{75 — 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
\]

Диагональ

\[
AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}.
\]

Угол между диагональю и стороной \(AD\) равен \(30^\circ\), значит сторона \(BC\) равна

\[
BC = \frac{1}{2} AC = 5 \text{ см}.
\]

Сторона \(AB\) найдётся по теореме Пифагора:

\[
AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{100 — 25} = 5\sqrt{3} \text{ см}.
\]

Площадь прямоугольника равна

\[
S = AB \cdot BC = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2.
\]