ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если отрезок не пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полусумме расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Пусть \( A \) и \( B \) — концы отрезка, а \( M \) — его середина с координатами \( M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) \).

Расстояние от точки \( P(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 \) равно \( d_P = \frac{\left| \alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma z_0 + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \).

Если отрезок не пересекает плоскость, то знаки выражений \( \alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta \) и \( \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta \) одинаковы, и можно записать

\( MM_1 = \frac{\left| \alpha \frac{x_A + x_B}{2} + \beta \frac{y_A + y_B}{2} + \gamma \frac{z_A + z_B}{2} + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} = \frac{AA_1 + BB_1}{2} \),

где \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — расстояния от концов отрезка до плоскости. Следовательно, расстояние от середины отрезка до плоскости равно полусумме расстояний от концов.

1. Пусть отрезок задан концами в точках \( A(x_A, y_A, z_A) \) и \( B(x_B, y_B, z_B) \). Обозначим середину отрезка как точку \( M \), тогда координаты \( M \) вычисляются по формуле \( M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) \).

2. Пусть плоскость задана уравнением \( \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 \), где \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) — постоянные коэффициенты.

3. Расстояние от произвольной точки \( P(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости вычисляется по формуле \( d_P = \frac{\left| \alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma z_0 + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \).

4. Рассчитаем расстояния от концов отрезка до плоскости: \( AA_1 = \frac{\left| \alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \) и \( BB_1 = \frac{\left| \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \).

5. Расстояние от середины отрезка \( M \) до плоскости равно \( MM_1 = \frac{\left| \alpha \frac{x_A + x_B}{2} + \beta \frac{y_A + y_B}{2} + \gamma \frac{z_A + z_B}{2} + \delta \right|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} \).

6. Выразим числитель расстояния \( MM_1 \): \( \left| \frac{\alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta + \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta}{2} \right| = \frac{\left| (\alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta) + (\alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta) \right|}{2} \).

7. Если отрезок не пересекает плоскость, то знаки выражений \( \alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta \) и \( \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta \) совпадают, следовательно, можно раскрыть модуль суммы как сумму модулей: \( \left| a + b \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \).

8. Тогда числитель равен \( \frac{\left| \alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta \right| + \left| \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta \right|}{2} \).

9. Подставляя обратно в формулу для \( MM_1 \), получаем \( MM_1 = \frac{\frac{\left| \alpha x_A + \beta y_A + \gamma z_A + \delta \right| + \left| \alpha x_B + \beta y_B + \gamma z_B + \delta \right|}{2}}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} = \frac{AA_1 + BB_1}{2} \).

10. Следовательно, если отрезок не пересекает плоскость, то расстояние от середины отрезка до плоскости равно полусумме расстояний от концов отрезка до плоскости, то есть \( MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} \).