ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.45 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если отрезок пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Пусть \( A \) и \( B \) — концы отрезка, \( M \) — его середина. Расстояния от точек \( A \), \( B \) и \( M \) до плоскости равны \( d_A \), \( d_B \) и \( d_M \) соответственно.

Так как \( M \) — середина отрезка, координаты \( M \) равны среднему арифметическому координат \( A \) и \( B \).

Расстояние до плоскости — линейная функция координат, значит

\( d_M = \frac{d_A + d_B}{2} \).

Если отрезок пересекает плоскость, то расстояния \( d_A \) и \( d_B \) имеют противоположные знаки, тогда

\( d_M = \frac{|d_B — d_A|}{2} \).

Таким образом, расстояние от середины отрезка до плоскости равно полуразности расстояний от концов отрезка до плоскости.

1. Пусть точки \( A(x_A, y_A, z_A) \) и \( B(x_B, y_B, z_B) \) — концы отрезка, а \( M \) — середина отрезка, тогда координаты \( M \) равны \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \).

2. Уравнение плоскости имеет вид \( A x + B y + C z + D = 0 \), где \( A, B, C, D \) — коэффициенты плоскости.

3. Расстояние от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости вычисляется по формуле \( d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \).

4. Расстояния от точек \( A \) и \( B \) до плоскости равны соответственно

\( d_A = \frac{|A x_A + B y_A + C z_A + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \),

\( d_B = \frac{|A x_B + B y_B + C z_B + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \).

5. Подставим координаты середины \( M \) в уравнение плоскости:

\( A \frac{x_A + x_B}{2} + B \frac{y_A + y_B}{2} + C \frac{z_A + z_B}{2} + D = \frac{(A x_A + B y_A + C z_A + D) + (A x_B + B y_B + C z_B + D)}{2} \).

6. Расстояние от середины \( M \) до плоскости равно

\( d_M = \frac{\left| (A x_A + B y_A + C z_A + D) + (A x_B + B y_B + C z_B + D) \right|}{2 \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \).

7. Если отрезок пересекает плоскость, то значения \( A x_A + B y_A + C z_A + D \) и \( A x_B + B y_B + C z_B + D \) имеют противоположные знаки.

8. Тогда расстояния \( d_A \) и \( d_B \) можно считать с учётом знаков, и расстояние от середины до плоскости будет равно

\( d_M = \frac{|d_B — d_A|}{2} \).

9. Следовательно, расстояние от середины отрезка до плоскости равно полуразности расстояний от концов отрезка до плоскости.

10. В терминах обозначений из примера:

\( мм_1 = \frac{BB_1 — Akb_1}{2} \).