ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.46 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если отрезок не пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полусумме расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) найдём \(AB\): \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}\).

Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(MH = 3\sqrt{2}\).

Проекция \(H\) точки \(M\) на \(AB\) — середина отрезка, значит \(HE = \frac{1}{2} AB = 3\sqrt{2}\).

Используем теорему Пифагора в треугольнике \(MCE\): \(MC = \sqrt{ME^2 — MH^2} = \sqrt{54 — 18} = 6\).

Ответ: \(6\) см

1. В треугольнике \(ABC\) угол при \(C\) прямой, \(AC = BC = 6\) см. Найдём длину гипотенузы \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см.

2. Точка \(M\) расположена так, что \(MC\) перпендикулярен плоскости \(ABC\). Проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\) совпадает с точкой \(C\).

3. Пусть \(H\) — проекция точки \(M\) на прямую \(AB\). По условию расстояние от \(M\) до прямой \(AB\) равно \(MH = 3\sqrt{2}\) см.

4. Поскольку \(H\) — проекция \(M\) на \(AB\), то \(MH \perp AB\). Точка \(H\) делит отрезок \(AB\) пополам, так как \(AC = BC\), следовательно, \(H\) — середина \(AB\).

5. Найдём длину отрезка \(HE\), где \(E\) — проекция \(M\) на плоскость \(ABC\), то есть точка \(C\). Тогда \(HE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) см.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MHE\) с прямым углом в точке \(H\). В нём \(MH\) — катет, \(HE\) — катет, а \(ME\) — гипотенуза.

7. По теореме Пифагора: \(ME^{2} = MH^{2} + HE^{2}\).

8. Подставим значения: \(ME^{2} = (3\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} = 18 + 18 = 36\).

9. Следовательно, \(ME = \sqrt{36} = 6\) см.

10. Так как \(ME = MC\) (расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\)), то ответ: \(6\) см.