ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) принадлежит грани \(AA_1 B_1 B\) куба \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\), точка \(K\) — грани \(AA_1 D_1 D\) (рис. 20.3). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(A_1 B_1 C_1\).

Точка \(M\) лежит на грани \(AA_1 B_1 B\), значит её координаты можно записать как \(M(x, y, 0)\). Точка \(K\) лежит на грани \(AA_1 D_1 D\), значит её координаты \(K(x, 0, z)\).

Прямая \(MK\) задаётся параметрически: \(L(t) = M + t(K — M)\).

Плоскость \(A_1 B_1 C_1\) имеет уравнение \(z = 1\) (верхняя грань куба).

Подставляем в уравнение прямой координату \(z = 1\):

\(z_M + t(z_K — z_M) = 1\).

Решаем уравнение для \(t\), подставляем в \(x\) и \(y\) прямой, находим координаты точки пересечения \(Q\).

Таким образом, точка пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(A_1 B_1 C_1\) — это \(Q\), координаты которой находятся из условия \(z = 1\) на прямой \(MK\).

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) с длиной ребра, равной 1. Координаты вершин примем так: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(M\) лежит на грани \(AA_1 B_1 B\), то есть на квадрате с вершинами \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(B(1,0,0)\). Пусть координаты точки \(M\) будут \(M(x_M, 0, z_M)\), где \(0 \leq x_M \leq 1\), \(0 \leq z_M \leq 1\).

3. Точка \(K\) лежит на грани \(AA_1 D_1 D\), то есть на квадрате с вершинами \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(D_1(0,1,1)\), \(D(0,1,0)\). Пусть координаты точки \(K\) будут \(K(0, y_K, z_K)\), где \(0 \leq y_K \leq 1\), \(0 \leq z_K \leq 1\).

4. Прямая \(MK\) задаётся в параметрической форме как \(L(t) = M + t(K — M)\), то есть
\(x(t) = x_M + t(0 — x_M) = x_M(1 — t)\),
\(y(t) = 0 + t(y_K — 0) = t y_K\),
\(z(t) = z_M + t(z_K — z_M)\).

5. Плоскость \(A_1 B_1 C_1\) — верхняя грань куба с координатой \(z = 1\).

6. Найдём параметр \(t\), при котором прямая пересекает плоскость, подставив \(z(t) = 1\):
\(z_M + t(z_K — z_M) = 1\).

7. Решая уравнение относительно \(t\):
\(t = \frac{1 — z_M}{z_K — z_M}\), при условии, что \(z_K \neq z_M\).

8. Подставим найденное значение \(t\) в выражения для \(x(t)\) и \(y(t)\):
\(x_Q = x_M(1 — t) = x_M \left(1 — \frac{1 — z_M}{z_K — z_M}\right)\),
\(y_Q = t y_K = y_K \frac{1 — z_M}{z_K — z_M}\).

9. Таким образом, координаты точки пересечения \(Q\) прямой \(MK\) с плоскостью \(A_1 B_1 C_1\) равны:
\(Q \left(x_M \left(1 — \frac{1 — z_M}{z_K — z_M}\right), y_K \frac{1 — z_M}{z_K — z_M}, 1\right)\).

10. Точка \(Q\) принадлежит плоскости \(A_1 B_1 C_1\) и является искомой точкой пересечения прямой \(MK\) с этой плоскостью.