Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.51 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\), равноудалённая от вершин правильного треугольника \(ABC\), находится на расстоянии 5 см от его плоскости. Найдите площадь треугольника \(ABC\), если угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\).
Точка \(M\) равноудалена от вершин правильного треугольника \(ABC\), расстояние от \(M\) до плоскости \(ABC\) равно 5 см, угол между \(MA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\).
Расстояние \(MO = 5\), угол \(\angle MAO = 60^\circ\).
По определению синуса: \(MO = MA \sin 60^\circ\), значит \(MA = \frac{5}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}}\).
В треугольнике \(MAO\) по теореме Пифагора: \(MA^2 = MO^2 + OA^2\).
Подставляем: \(\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 = 5^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2\).
Получаем: \(\frac{100}{3} = 25 + \frac{a^2}{3}\), откуда \(a^2 = 25\), следовательно \(a = 5\).
Площадь правильного треугольника: \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4}\) см².
1. Пусть \(a\) — сторона правильного треугольника \(ABC\).
2. Точка \(M\) равноудалена от вершин \(A, B, C\), значит \(MA = MB = MC\).
3. Обозначим проекцию точки \(M\) на плоскость треугольника \(ABC\) как точку \(O\). Тогда \(MO = 5\) см — расстояние от \(M\) до плоскости.
4. Угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\), значит угол между \(MA\) и проекцией \(AO\) равен \(60^\circ\).
5. Из определения синуса угла: \(MO = MA \sin 60^\circ\), откуда \(MA = \frac{MO}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}}\).
6. Точка \(O\) — центр правильного треугольника, значит \(OA\) — радиус описанной окружности. Для правильного треугольника \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).
7. В прямоугольном треугольнике \(MAO\) по теореме Пифагора: \(MA^2 = MO^2 + OA^2\).
8. Подставляем значения: \(\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 = 5^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2\).
9. Получаем уравнение: \(\frac{100}{3} = 25 + \frac{a^2}{3}\). Умножаем на 3: \(100 = 75 + a^2\).
10. Выражаем \(a^2\): \(a^2 = 25\), следовательно \(a = 5\).
Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4}\) см².
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!