Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.52 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(DC\) — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), \(DC = 9\) см, \(AC = 15\) см, \(BC = 20\) см. Отрезок \(DE\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AB\). Найдите угол между прямой \(DE\) и плоскостью \(ABC\).
В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) найдём гипотенузу \(AB\): \(AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\).
Точка \(E\) — середина \(AB\), поэтому \(CE = \frac{1}{2} AB = 12.5\).
В треугольнике \(DCE\) по теореме Пифагора найдём \(AD = \sqrt{15^2 — 9^2} = 12\).
Угол между \(DE\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(DE\) и её проекцией \(CE\), тогда \(\tan \theta = \frac{DC}{CE} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\).
Ответ: \(\theta = \arctan \frac{3}{4}\).
1. В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) по теореме Пифагора найдём гипотенузу \(AB\): \(AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\).
2. Точка \(E\) лежит на \(AB\) и прямая \(DE\) перпендикулярна \(AB\), значит \(E\) — проекция \(D\) на \(AB\). Так как \(D\) находится на перпендикуляре к плоскости \(ABC\) через \(C\), проекция точки \(D\) на \(AB\) совпадает с проекцией \(C\) на \(AB\), то есть \(E\) — проекция \(C\) на \(AB\).
3. Найдём длину отрезка \(CE\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведём высоту из \(C\) на гипотенузу \(AB\). Высота \(CE\) равна \(CE = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\).
4. Длина \(DC\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и равна 9 см.
5. Рассмотрим треугольник \(DCE\), где \(DC\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), а \(CE\) лежит в плоскости \(ABC\). Тогда угол между прямой \(DE\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(DE\) и её проекцией \(CE\).
6. В треугольнике \(DCE\) угол между \(DE\) и плоскостью \(ABC\) обозначим \(\theta\). Тогда \(\tan \theta = \frac{DC}{CE} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\).
7. Следовательно, \(\theta = \arctan \frac{3}{4}\).
8. Проверим длину \(AD\). В прямоугольном треугольнике \(ADC\) по теореме Пифагора: \(AD = \sqrt{DC^2 — AC^2} = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12\).
9. Таким образом, все вычисления согласованы и соответствуют условию.
10. Итог: угол между прямой \(DE\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\arctan \frac{3}{4}\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!