ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.53 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(A\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\). Докажите, что прямые \(AB\) и \(CD\) образуют равные углы с плоскостью \(\alpha\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(C\), значит прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\).

В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, то есть \(AB \parallel CD\).

Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Проекции \(AB\) и \(CD\) на плоскость \(\alpha\) будут параллельны, так как \(AB \parallel CD\).

Следовательно, \(\angle(AB, \alpha) = \angle(CD, \alpha)\).

1. Плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(A\) и \(C\), значит прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\).

2. В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, то есть \(AB \parallel CD\).

3. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

4. Пусть \(h_1\) — высота, проведённая из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\), а \(h_2\) — высота, проведённая из точки \(D\) на плоскость \(\alpha\).

5. Рассмотрим проекции отрезков \(AB\) и \(CD\) на плоскость \(\alpha\). Обозначим их как \(A B’\) и \(C D’\) соответственно, где \(B’\) и \(D’\) — проекции точек \(B\) и \(D\) на плоскость \(\alpha\).

6. Так как \(AB \parallel CD\), то вектор \( \overrightarrow{AB} \) параллелен вектору \( \overrightarrow{CD} \). Следовательно, их проекции \( \overrightarrow{A B’} \) и \( \overrightarrow{C D’} \) также параллельны.

7. Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен углу между вектором \( \overrightarrow{AB} \) и его проекцией \( \overrightarrow{A B’} \).

8. Аналогично, угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(\alpha\) равен углу между вектором \( \overrightarrow{CD} \) и его проекцией \( \overrightarrow{C D’} \).

9. Поскольку \( \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{A B’} \parallel \overrightarrow{C D’} \), углы между \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{A B’} \), а также между \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{C D’} \), равны.

10. Следовательно, \(\angle(AB, \alpha) = \angle(CD, \alpha)\).