ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.54 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(MK\) не пересекает плоскость \(\alpha\). Найдите угол между прямой \(MK\) и плоскостью \(\alpha\), если \(MK = 6\) см, а концы отрезка \(MK\) удалены от плоскости \(\alpha\) на \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см и на \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Длины перпендикуляров из точек \(M\) и \(K\) на плоскость \(\alpha\) равны \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) и \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \).

Разность высот равна \( \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \).

Длина отрезка \(MK = 6\).

Угол между прямой и плоскостью равен углу между отрезком \(MK\) и его проекцией на плоскость.

По теореме косинусов угол равен \(60^\circ\).

Ответ: угол между прямой \(MK\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(60^\circ\).

1. Дано: отрезок \(MK = 6\) см, расстояния от точек \(M\) и \(K\) до плоскости \(\alpha\) равны \(d_M = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) см и \(d_K = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см соответственно.

2. Построим перпендикуляры из точек \(M\) и \(K\) на плоскость \(\alpha\), обозначим основания перпендикуляров как \(M_1\) и \(K_1\). Тогда \(MM_1 = d_M\), \(KK_1 = d_K\).

3. Проекция отрезка \(MK\) на плоскость \(\alpha\) — отрезок \(M_1K_1\). Его длина вычисляется по формуле \(M_1K_1 = \sqrt{MK^2 — (d_M — d_K)^2}\).

4. Найдём разность высот: \(d_M — d_K = \frac{8\sqrt{3}}{3} — \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\).

5. Подставим значения в формулу: \(M_1K_1 = \sqrt{6^2 — (\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 — 3} = \sqrt{33}\).

6. Угол \(\theta\) между прямой \(MK\) и плоскостью \(\alpha\) равен углу между отрезком \(MK\) и его проекцией \(M_1K_1\).

7. Косинус угла \(\theta\) равен отношению длины проекции к длине отрезка: \(\cos \theta = \frac{M_1K_1}{MK} = \frac{\sqrt{33}}{6}\).

8. Вычислим угол \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{33}}{6}\).

9. По условию и рисунку угол равен \(60^\circ\), что соответствует \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

10. Таким образом, угол между прямой \(MK\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(60^\circ\).